蓝以中上册 线性空间与线性变换 328页 习题四13 解答

castelu

习题四13：
　　设$V$是数域$K$上的$n(n \ge 2)$维线性空间。$A,B$是$V$内两个线性变换，在$V$的基$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$下的矩阵分别是$A,A^*$（$A$的伴随矩阵）。
（1）证明$AB=BA$；
（2）设零是$A$的特征值，求下面子空间
$$M=\left\{\alpha \in V|B\alpha=0\right\}$$
　　的维数和一组基。

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解：
（1）$A$在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　下的矩阵为$A$，即
$$A(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)=(A\epsilon_1,A\epsilon_2,\cdots,A\epsilon_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)A$$
　　$B$在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　下的矩阵为$A^*$，即
$$B(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)=(B\epsilon_1,B\epsilon_2,\cdots,B\epsilon_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)A^*$$
　　那么
$$AB(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)=A(B\epsilon_1,B\epsilon_2,\cdots,B\epsilon_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)AA^*$$
　　故$AB$在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　下的矩阵为$AA^*$
$$BA(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)=B(A\epsilon_1,A\epsilon_2,\cdots,A\epsilon_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)A^*A$$
　　故$BA$在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　下的矩阵为$A^*A$
　　由于
$$AA^*=A^*A=|A|E$$
　　所以
$$AB=BA$$
（2）由《蓝以中上册 行列式 208页 习题二6 解答》知
$$r(A^*)=\left\{ \begin{array}{l}
n, 当r(A)=n\\
1, 当r(A)=n-1\\
0, 当r(A)<n-1
\end{array} \right.$$
　　设$A$的特征多项式为
$$f(\lambda)=|\lambda E-A|$$
　　对应的特征值为
$$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$$
　　一方面，行列式展开得到
$$|\lambda E-A|=\lambda^n-{\rm Tr}(A)\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n|A|$$
　　另一方面，根据$Vieta$定理
$$\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i=(-1)^{2n}|A|=|A|$$
　　由于零是$A$的特征值
　　所以$|A|=0$，进而$r(A)<n$
　　当$r(A)=n-1$时，$r(A^*)=1$，这时
$$\dim M=n-r(A^*)=n-1$$
　　由于
$$BA=O$$
　　所以$A$的列向量属于$B$的解空间
　　取$A$列向量的一个极大无关组
$$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_{n-1}$$
　　它就是$M$的一组基
　　当$r(A)<n-1$时，$r(A^*)=0$，这时
$$\dim M=n-r(A^*)=n$$
　　于是，$V$的基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　就是$M$的一组基。