蓝以中上册 线性空间与线性变换 328页 习题四14 解答

castelu

习题四14：
　　设$A$是数域$K$上$n$维线性空间$V$内的一个线性变换。证明$A$的矩阵可对角化的充分必要条件是存在$K$内互不相同的数$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$，使
$$(\lambda_1E-A)(\lambda_2E-A)\cdots(\lambda_kE-A)=0$$

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解：
　　必要性：
　　由于$A$的矩阵可对角化
　　故存在$K$内互不相同的数
$$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$$
　　它们是$A$的全部互不相同的特征值，并且
$$V=\mathop\oplus\limits_{i=1}^kV_{\lambda_i}$$
　　在每个$V_{\lambda_i}$中任取一组基，合并后即为$V$的一组基
　　在该组基下$A$的矩阵为对角矩阵
　　即存在可逆矩阵$P$，使
$$P^{-1}AP={\rm diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k,\cdots)$$
　　考虑乘积
$$(\lambda_1E-A)(\lambda_2E-A)\cdots(\lambda_kE-A)$$
　　每个括号左乘$P^{-1}$，右乘$P$，可知
$$P^{-1}(\lambda_1E-A)(\lambda_2E-A)\cdots(\lambda_kE-A)P=0$$
　　由于$P$可逆，故
$$(\lambda_1E-A)(\lambda_2E-A)\cdots(\lambda_kE-A)=0$$
　　充分性：
　　设$A_1,A_2,\cdots,A_k$是数域$K$上的$n$阶方阵，这里$k \ge 2$，如果
$$A_1A_2\cdots A_k=0$$
　　可以根据《蓝以中上册 向量空间与矩阵 117页 习题四7 解答》
　　并利用数学归纳法证明
$$r(A_1)+r(A_2)+\cdots+r(A_k) \le (k-1)n$$
　　由于存在$K$内互不相同的数$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$，使
$$(\lambda_1E-A)(\lambda_2E-A)\cdots(\lambda_kE-A)=0$$
　　所以
$$r(\lambda_1E-A)+r(\lambda_2E-A)+\cdots+r(\lambda_kE-A) \le (k-1)n$$
　　对$\lambda_i(i=1,2,\cdots,k)$，齐次线性方程组
$$(\lambda_iE-A)X=0$$
　　解空间维数为$n-r(\lambda_iE-A)$，即$\dim V_{\lambda_i}=n-r(\lambda_iE-A)$
　　由于
$$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$$
　　是$K$内互不相同的数
　　故子空间的和
$$\sum\limits_{i=1}^kV_{\lambda_i}$$
　　是直和
　　故
$$\sum\limits_{i=1}^k\left(\dim V_{\lambda_i}\right)=\dim\left(\sum\limits_{i=1}^kV_{\lambda_i}\right) \le \dim V=n$$
　　即
$$\sum\limits_{i=1}^k\left[n-r(\lambda_iE-A)\right] \le n$$
　　从而
$$r(\lambda_1E-A)+r(\lambda_2E-A)+\cdots+r(\lambda_kE-A) \ge (k-1)n$$
　　于是
$$r(\lambda_1E-A)+r(\lambda_2E-A)+\cdots+r(\lambda_kE-A)=(k-1)n$$
　　综合上面的结果，得
$$\sum\limits_{i=1}^k\left(\dim V_{\lambda_i}\right)=n$$
　　于是
$$V=\mathop\oplus\limits_{i=1}^kV_{\lambda_i}$$
　　所以$A$的矩阵可对角化。