蓝以中上册 线性空间与线性变换 328页 习题四16 解答

castelu

习题四16：
　　设$A$是数域$K$上$n$维线性空间$V$内的一个线性变换，在$V$的一组基下其矩阵为
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\lambda_0}&{1}&{}&{}&{}\\
{}&{\lambda_0}&{1}&{}&{}\\
{}&{}&{\ddots}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{}&{\ddots}&{1}\\
{}&{}&{}&{}&{\lambda_0}
\end{array}} \right)$$
　　证明：当$n>1$时，对$A$的任一非平凡不变子空间$M$，都不存在$A$的不变子空间$N$，使
$$V=M\oplus N$$

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解：
　　设$A$在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　下的矩阵是
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\lambda_0}&{1}&{}&{}&{}\\
{}&{\lambda_0}&{1}&{}&{}\\
{}&{}&{\ddots}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{}&{\ddots}&{1}\\
{}&{}&{}&{}&{\lambda_0}
\end{array}} \right)$$
　　即
$$(A\epsilon_1,A\epsilon_2,\cdots,A\epsilon_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)A$$
　　则
$$\left\{ \begin{array}{l}
A\epsilon_1=\lambda_0\epsilon_1\\
A\epsilon_2=\epsilon_1+\lambda_0\epsilon_2\\
\cdots\\
A\epsilon_{n-1}=\epsilon_{n-2}+\lambda_0\epsilon_{n-1}\\
A\epsilon_n=\epsilon_{n-1}+\lambda_0\epsilon_n
\end{array} \right.$$
　　设$M$是任一非零的$A-$子空间，则对于任意非零向量$\alpha \in M$
　　令
$$\alpha=k_1\epsilon_1+k_2\epsilon_2+\cdots+k_{n-1}\epsilon_{n-1}+k_n\epsilon_n$$
　　不失一般性，可设$k_n \ne 0$，则
$$\begin{eqnarray*}
A\alpha&=&k_1A\epsilon_1+k_2A\epsilon_2+\cdots+k_{n-1}A\epsilon_{n-1}+k_nA\epsilon_n\\
&=&k_1\lambda_0\epsilon_1+k_2(\epsilon_1+\lambda_0\epsilon_2)+\cdots+k_{n-1}(\epsilon_{n-2}+\lambda_0\epsilon_{n-1})+k_n(\epsilon_{n-1}+\lambda_0\epsilon_n)\\
&=&\lambda_0\alpha+k_2\epsilon_1+k_3\epsilon_2+\cdots+k_n\epsilon_{n-1}
\end{eqnarray*}$$
　　由$A\alpha \in M$，$\lambda_0\alpha \in M$，令
$$k_2\epsilon_1+k_3\epsilon_2+\cdots+k_n\epsilon_{n-1}=\beta$$
　　所以$\beta \in M$
　　再求$A\beta$，又可推得
$$k_3\epsilon_1+k_4\epsilon_2+\cdots+k_n\epsilon_{n-2} \in M$$
　　继续作下去，最后可得
$$k_n\epsilon_1 \in M$$
　　从而
$$\epsilon_1 \in M$$
　　即$V$中任意非零$A-$子空间都包含$\epsilon_1$
　　如果
$$V=M\oplus N$$
　　由于
$$\epsilon_1 \in M$$
　　且
$$\epsilon_1 \in N$$
　　于是
$$\epsilon_1 \in M \cap N$$
　　故$V$不能分解成两个非平凡的$A-$子空间的直和。