蓝以中上册 线性空间与线性变换 329页 习题四18 解答

castelu

习题四18：
　　设$V$是数域$K$上二维线性空间，$F$为$V$内在基$\epsilon_1,\epsilon_2$下有矩阵
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{a}\\
{1-a}&{0}
\end{array}} \right)(a \in K)$$
　　的线性变换所成的集合，证明$F$中的线性变换没有公共非平凡不变子空间。

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解：
　　设$A \in F$，可知$A$在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2$$
　　下的矩阵是
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{a}\\
{1-a}&{0}
\end{array}} \right)(a \in K)$$
　　即
$$(A\epsilon_1,A\epsilon_2)=(\epsilon_1,\epsilon_2)A$$
　　则
$$\left\{ \begin{array}{l}
A\epsilon_1=(1-a)\epsilon_2\\
A\epsilon_2=a\epsilon_1
\end{array} \right.$$
　　假设$F$中的线性变换有公共非平凡不变子空间，记为$M$
　　由于
$$\dim V=2$$
　　故
$$\dim M=1$$
　　如果$\epsilon_1$是$M$的基
　　可由
$$A\epsilon_1=(1-a)\epsilon_2 \in M$$
　　得到
$$(1-a)\epsilon_2=k\epsilon_1(k \in K)$$
　　由于
$$\epsilon_1,\epsilon_2$$
　　线性无关
　　可知
$$\left\{ \begin{array}{l}
a=1\\
k=0
\end{array} \right.$$
　　这时$F$中只有一个元素，它在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2$$
　　下的矩阵是
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{1}\\
{0}&{0}
\end{array}} \right)$$
　　没有公共非平凡不变子空间，矛盾
　　如果$\epsilon_2$是$M$的基
　　可由
$$A\epsilon_2=a\epsilon_1 \in M$$
　　得到
$$a\epsilon_1=k\epsilon_2(k \in K)$$
　　由于
$$\epsilon_1,\epsilon_2$$
　　线性无关
　　可知
$$\left\{ \begin{array}{l}
a=0\\
k=0
\end{array} \right.$$
　　这时$F$中只有一个元素，它在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2$$
　　下的矩阵是
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{0}\\
{1}&{0}
\end{array}} \right)$$
　　没有公共非平凡不变子空间，矛盾
　　综上所述，$F$中的线性变换没有公共非平凡不变子空间。