蓝以中上册 线性空间与线性变换 329页 习题四21 解答

castelu

习题四21：
　　设$V$是数域$K$上的$n$维线性空间，$A,B$是$V$内两个线性变换，且$AB=BA$。如果$A,B$的矩阵都可对角化，证明$V$内存在一组基，使$A,B$在该组基下的矩阵同时成对角形。

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解：
　　由于$A$的矩阵都可对角化，故$A$一定有属于数域$K$的特征值
　　设$\lambda$是$A$的一个特征值，$V_{\lambda}$是属于特征值$\lambda$的特征子空间
　　先证$V_{\lambda}$是$B$的不变子空间
　　若
$$\alpha \in V_{\lambda}$$
　　那么
$$A(B\alpha)=AB(\alpha)=BA(\alpha)=B(A\alpha)=B(\lambda\alpha)=\lambda(B\alpha)$$
　　故
$$B\alpha \in V_{\lambda}$$
　　因此$V_{\lambda}$是$B$的不变子空间
　　于是，$A,B$有公共的特征向量，记为$\xi_1$
　　设$\mu$是$B$的一个特征值，且
$$B\xi_1=\mu\xi_1$$
　　将$\xi_1$扩为$V$的一组基
$$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$$
　　设$A,B$在这组基下的矩阵分别是
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\lambda}&{*}\\
{0}&{A_1}
\end{array}} \right),B=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\mu}&{*}\\
{0}&{B_1}
\end{array}} \right)$$
　　由于
$$AB=BA$$
　　可知
$$A_1B_1=B_1A_1$$
　　归纳假设$V$内存在一组基
$$\xi_2,\xi_3,\cdots,\xi_n$$
　　使$A,B$在该组基下的矩阵同时成对角形
　　则在基
$$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$$
　　下，$A,B$的矩阵同时成对角形。