蓝以中上册 线性空间与线性变换 329页 习题四25 解答

castelu

习题四25：
　　证明$Hamilton-Cayley$定理：如果数域$K$上$n$维线性空间$V$内线性变换$A$的特征多项式为$f(\lambda)$，则$f(A)=0$

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解：
　　先证存在正整数$k$，使得
$$\alpha,A\alpha,A^2\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha$$
　　线性无关，而
$$A^k\alpha=a_0\alpha+a_1A\alpha+\cdots+a_{k-1}A^{k-1}\alpha$$
　　如令
$$M=L(\alpha,A\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha)$$
　　要证$M$是$A$的不变子空间，并进一步证明$A|_M$的特征多项式为
$$g(\lambda)=\lambda^k-a_{k-1}\lambda^{k-1}-a_{k-2}\lambda^{k-2}-\cdots-a_1\lambda-a_0$$
　　由《蓝以中上册 线性空间与线性变换 299页 习题三25 解答》知
$$\alpha,A\alpha,A^2\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha$$
　　线性无关。现
$$A^{k+1}\alpha=a_0A\alpha+a_1A^2\alpha+\cdots+a_{k-1}A^k\alpha$$
　　因$A^k\alpha$可被
$$\alpha,A\alpha,A^2\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha$$
　　线性表示，故$A^{k+1}\alpha$也如此，由此递推可知
$$A^l\alpha(l=k,k+1,\cdots)$$
　　均可由
$$\alpha,A\alpha,A^2\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha$$
　　线性表示。于是
$$M=L(\alpha,A\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha)$$
　　为$A$的不变子空间
　　$A|_M$在基
$$\alpha,A\alpha,A^2\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha$$
　　下的矩阵为
$$J=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{0}&{0}&{0}&{\cdots}&{a_0}\\
{1}&{0}&{0}&{0}&{\cdots}&{a_1}\\
{0}&{1}&{0}&{0}&{\cdots}&{a_2}\\
{\vdots}&{\ddots}&{\ddots}&{\ddots}&{\ddots}&{\vdots}\\
{0}&{\cdots}&{0}&{1}&{0}&{a_{k-2}}\\
{0}&{0}&{\cdots}&{0}&{1}&{a_{k-1}}
\end{array}} \right)$$
　　于是$A|_M$的特征多项式为
$$D_k=|\lambda E-J|=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\lambda}&{0}&{0}&{0}&{\cdots}&{-a_0}\\
{-1}&{\lambda}&{0}&{0}&{\cdots}&{-a_1}\\
{0}&{-1}&{\lambda}&{0}&{\cdots}&{-a_2}\\
{\vdots}&{\ddots}&{\ddots}&{\ddots}&{\ddots}&{\vdots}\\
{0}&{\cdots}&{0}&{-1}&{\lambda}&{-a_{k-2}}\\
{0}&{0}&{\cdots}&{0}&{-1}&{\lambda-a_{k-1}}
\end{array}} \right|$$
　　所以$A|_M$的特征多项式为
$$g(\lambda)=\lambda^k-a_{k-1}\lambda^{k-1}-a_{k-2}\lambda^{k-2}-\cdots-a_1\lambda-a_0$$
　　于是
$$\begin{eqnarray*}
g(A)\alpha&=&(A^k-a_{k-1}A^{k-1}-\cdots-a_1A-a_0E)\alpha\\
&=&A^k\alpha-a_{k-1}A^{k-1}\alpha-\cdots-a_1A\alpha-a_0\alpha=0
\end{eqnarray*}$$
　　若$A$在$V$内特征多项式为$f(\lambda)$，设$A$在$V/M$的诱导变换特征多项式为$h(\lambda)$，则
$$f(\lambda)=g(\lambda)h(\lambda)$$
　　于是
$$f(A)\alpha=h(A)g(A)\alpha=0$$
　　由此即得$f(A)$为$V$内零变换。