蓝以中上册 线性空间与线性变换 330页 习题四29 解答

castelu

习题四29：
　　设$A$是数域$K$上的$n$阶方阵。试用$A$的各种子式表示出$A$的特征多项式$f(\lambda)=|\lambda E-A|$的所有系数。

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解：
　　考虑行列式
$$|\lambda E+A|$$
　　若$M$是行列式$|\lambda E|$的$k$阶子式
　　则用$\widetilde M$表示$|A|$中与该子式位置相同子式的代数余子式
　　则
$$|\lambda E+A|$$
　　等于所有可能的$M$与$\widetilde M$的乘积之和
　　设
$$|\lambda E|=|\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n|$$
$$|A|=|\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n|$$
　　其中$\alpha_i,\beta_i$分别是$\lambda E$和$A$的列向量
$$|\lambda E+A|=|\alpha_1+\beta_1,\alpha_2+\beta_2,\cdots,\alpha_n+\beta_n|$$
　　按行列式性质展开，使每个行列式的每一列或者只含$\alpha_i$，或者只含$\beta_i$
$$|\lambda E+A|$$
　　可以表示为这样的$2^n$个行列式之和
　　对每个行列式用$Laplace$定理按含有$\lambda E$的列向量的哪些列展开便可得到结论
　　设$n$阶矩阵$A$的特征多项式为
$$f(\lambda)=\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+a_2\lambda^{n-2}+\cdots+a_n$$
　　以$-A$代替上述结论中的$A$，可知
　　特征多项式$f(\lambda)$的所有系数等于$(-1)^r$乘以$A$的所有$r$阶主子式之和，即
$$a_r=(-1)^r\sum\limits_{1 \le i_1<i_2<\cdots<i_r \le n}A\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{i_1}&{i_2}&{\cdots}&{i_r}\\
{i_1}&{i_2}&{\cdots}&{i_r}
\end{array}} \right),r=1,2,\cdots,n$$