蓝以中上册 双线性函数与二次型 344页 习题一14 解答

castelu

习题四31：
　　设$A$是一个$n$阶方阵，证明：
（1）$A$反对称当且仅当对任一$n$维列向量$X$，有
$$X'AX=0$$
（2）若$A$对称，且对任一$n$维列向量$X$有
$$X'AX=0$$
　　那么
$$A=O$$

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解：
（1）必要性
　　设$A$为反对称矩阵，即
$$A'=-A$$
　　则对任意$n$维向量$X$，有
$$X'AX=(X'AX)'=X'A'X=-X'AX$$
　　故
$$X'AX=0$$
　　充分性
　　设对任给的
$$X=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{x_1}\\
{x_2}\\
{\vdots}\\
{x_n}
\end{array}} \right)$$
　　有
$$X'AX=0$$
　　即
$$\begin{eqnarray*}
&&a_{11}x_1^2+(a_{12}+a_{21})x_1x_2+\cdots+(a_{1n}+a_{n1})x_1x_n\\
&+&a_{22}x_2^2+(a_{23}+a_{32})x_2x_3+\cdots+a_{nn}x_n^2=0
\end{eqnarray*}$$
　　这说明上式是多元零多项式，从而
$$a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{nn}=0,a_{ij}=-a_{ji}(i,j=1,2,\cdots,n,i \ne j)$$
　　故
$$A'=-A$$
（2）由$A$为对称矩阵，且
$$X'AX=0$$
　　得
$$\begin{eqnarray*}
X'AX&=&a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots+2a_{1n}x_1x_n\\
&+&a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\cdots+2a_{2n}x_2x_n+\cdots+a_{nn}x_n^2=0
\end{eqnarray*}$$
　　这说明上式是多元零多项式，从而
$$a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{nn}=0,2a_{ij}=0(i,j=1,2,\cdots,n,i \ne j)$$
　　即
$$a_{ij}=0(i,j=1,2,\cdots,n)$$
　　故
$$A=O$$