蓝以中上册 双线性函数与二次型 345页 习题一17 解答

castelu

习题一17：
　　设$V$是数域$K$上的$n$维线性空间，$f(\alpha,\beta)$是$V$内反对称双线性函数。证明$V$内存在一组基，使$f(\alpha,\beta)$在此组基下的矩阵成如下准对角形：
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{S}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\
{}&{S}&{}&{}&{}&{}&{}\\
{}&{}&{\ddots}&{}&{}&{}&{}\\
{}&{}&{}&{S}&{}&{}&{}\\
{}&{}&{}&{}&{0}&{}&{}\\
{}&{}&{}&{}&{}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{0}
\end{array}} \right),S=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{1}\\
{-1}&{0}
\end{array}} \right)$$

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解：
　　若
$$\dim V=1$$
　　任取$\alpha \in V$
　　因
$$f(\alpha,\alpha)=-f(\alpha,\alpha)$$
　　由此推知
$$f(\alpha,\alpha)=0$$
　　取
$$\alpha \ne 0$$
　　则任给
$$\beta \in V$$
　　有
$$\beta=k\alpha$$
　　于是
$$f(\alpha,\beta)=f(\alpha,k\alpha)=kf(\alpha,\alpha)=0$$
　　故知
$$f(\alpha,\beta)=0$$
　　命题已证
　　设
$$\dim V=2$$
　　且
$$f(\alpha,\beta) \ne 0$$
　　因$f$反对称，对任意$\alpha \in V$
　　都有
$$f(\alpha,\alpha)=0$$
　　取
$$\alpha_0,\beta_0 \in V$$
　　使
$$f(\alpha_0,\beta_0)=d \ne 0$$
　　此时因
$$f\left(\alpha_0,\frac{1}{d}\beta_0\right)=\frac{1}{d}f(\alpha_0,\beta_0)=1$$
　　故不妨设
$$f(\alpha_0,\beta_0)=1$$
　　那么
$$f(\beta_0,\alpha_0)=-f(\alpha_0,\beta_0)=-1$$
　　现在$\alpha_0,\beta_0$线性无关（否则必有$\beta_0=k\alpha_0$，于是$f(\alpha_0,\beta_0)=f(\alpha_0,k\alpha_0)=k(f\alpha_0,\alpha_0)=0$，矛盾）
　　可取为$V$的一组基，$f$在此组基下矩阵即为$S$
　　现设当
$$\dim V<n$$
　　时命题已成立
　　当
$$\dim V=n>2$$
　　时
　　若
$$f(\alpha,\beta) \equiv 0$$
　　它在任一组基处矩阵为零矩阵，命题已证
　　若
$$f(\alpha,\beta) \not\equiv 0$$
　　如上所述，$V$内存在线性无关的向量组$\alpha_0,\beta_0$，使
$$f(\alpha_0,\beta_0)=1$$
　　令
$$M=L(\alpha_0,\beta_0),\dim M=2$$
　　$f$看做$M$内反对称双线性函数
　　在$M$的基$\alpha_0,\beta_0$下的矩阵即为$S$
　　现将
$$\alpha_0,\beta_0$$
　　扩充为$V$的一组基
$$\alpha_0,\beta_0,\gamma_3,\cdots,\gamma_n$$
　　令
$$\epsilon_1=\alpha_0,\epsilon_2=\beta_0$$
　　及
$$\epsilon_i=f(\epsilon_2,\gamma_i)\epsilon_1-f(\epsilon_1,\gamma_i)\epsilon_2+\gamma_i$$
　　这里
$$i=3,4,\cdots,n$$
　　现在
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3,\cdots,\epsilon_n$$
　　与
$$\alpha_0,\beta_0,\gamma_3,\cdots,\gamma_n$$
　　等价，仍为$V$的一组基，而
$$f(\epsilon_1,\epsilon_i)=-f(\epsilon_1,\gamma_i)f(\epsilon_1,\epsilon_2)+f(\epsilon_1,\gamma_i)=0$$
$$\begin{eqnarray*}
f(\epsilon_2,\epsilon_i)&=&f(\epsilon_2,\gamma_i)f(\epsilon_2,\epsilon_1)+f(\epsilon_2,\gamma_i)\\
&=&-f(\epsilon_2,\gamma_i)+f(\epsilon_2,\gamma_i)=0
\end{eqnarray*}$$
　　令
$$N=L(\epsilon_3,\cdots,\epsilon_n)$$
　　因
$$\dim N=n-2$$
　　$f(\alpha,\beta)$限制在$N$内仍为反对称双线性函数
　　按归纳假设，在$N$内存在一组基
$$\eta_3,\cdots,\eta_n$$
　　使$f(\alpha,\beta)$在此组基下矩阵为命题所要求的准对角形
　　因
$$V=M \oplus N$$
　　故
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\eta_3,\cdots,\eta_n$$
　　为$V$的一组基，在此组基下，$f$的矩阵即为所求之准对角矩阵。