蓝以中上册 双线性函数与二次型 346页 习题一21 解答

castelu

习题一21：
　　设$f(\alpha,\beta)$是数域$K$上线性空间$V$内的对称双线性函数。如果$f(\alpha,\beta)=g(\alpha)h(\beta)$，其中$g,h$为$V$内两个线性函数。证明存在$V$内线性函数$l(\alpha)$及$K$内非零数$\lambda$，使得
$$f(\alpha,\beta)=\lambda l(\alpha)l(\beta)=0$$

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解：
　　首先，若
$$f(\alpha,\beta) \equiv 0$$
　　只要取
$$\lambda=1,l(\alpha) \equiv 0$$
　　即有
$$f(\alpha,\beta)=\lambda l(\alpha)l(\beta)$$
　　下面设
$$f(\alpha,\beta) \not\equiv 0$$
　　于是有
$$\alpha_0,\beta_0 \in V$$
　　使
$$f(\alpha_0,\beta_0)=g(\alpha_0)h(\beta_0) \ne 0$$
　　因为$f(\alpha,\beta)$为对称双线性函数，故
$$f(\beta_0,\alpha_0)=g(\beta_0)h(\alpha_0) \ne 0$$
　　现在令
$$l(\alpha)=g(\alpha)$$
　　那么，对任意
$$\beta \in V$$
　　我们有
$$f(\alpha_0,\beta)=g(\alpha_0)h(\beta)=f(\beta,\alpha_0)=g(\beta)h(\alpha_0)$$
　　已知
$$g(\alpha_0) \ne 0$$
　　从上式推出
$$h(\beta)=\frac{h(\alpha_0)}{g(\alpha_0)}g(\beta)=\lambda l(\beta)$$
　　这里
$$\lambda=\frac{h(\alpha_0)}{g(\alpha_0)}$$
　　由此得
$$f(\alpha,\beta)=g(\alpha)h(\beta)=\lambda g(\alpha)g(\beta)=\lambda l(\alpha)l(\beta)$$