蓝以中上册 双线性函数与二次型 359页 习题二7 解答

castelu

习题二7：
　　给定二次型
$$f=\sum\limits_{i=1}^s\left(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n\right)^2$$
　　其中
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\
{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\
{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\
{a_{s1}}&{a_{s2}}&{\cdots}&{a_{sn}}
\end{array}} \right)$$
　　是一个实数矩阵。证明$f$的秩等于$r(A)$。

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解：
　　令
$$X=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{x_1}\\
{x_2}\\
{\vdots}\\
{x_n}
\end{array}} \right)$$
　　我们有
$$AX=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n}\\
{a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n}\\
{\vdots}\\
{a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n}
\end{array}} \right)$$
　　于是
$$\begin{eqnarray*}
X'(A'A)X&=&(AX)'(AX)\\
&=&\sum\limits_{i=1}^s\left(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n\right)^2\\
&=&f
\end{eqnarray*}$$
　　因为$A'A$是对称矩阵
　　故实二次型$f$的矩阵就是$A'A$
　　考查齐次线性方程
$$AX=0$$
　　与
$$(A'A)X=0$$
　　显然
$$AX=0$$
　　的解都是
$$(A'A)X=0$$
　　的解。反之
$$(A'A)X=0$$
　　的任一组解$X$满足
$$X'(A'A)X=0$$
　　于是
$$\begin{eqnarray*}
X'(A'A)X&=&(AX)'(AX)\\
&=&\sum\limits_{i=1}^s\left(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n\right)^2\\
&=&0
\end{eqnarray*}$$
　　在实数域内它推出
$$a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n=0(i=1,2,\cdots,s)$$
　　于是
$$AX=0$$
　　因此
$$AX=0$$
　　与
$$(A'A)X=0$$
　　同解
　　由此推出
$$n-r(A)=n-r(A'A)$$
　　即
$$r(A'A)=r(A)$$