蓝以中上册 双线性函数与二次型 365页 习题三4 解答

castelu

习题三4：
　　设
$$f=X'AX=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_ix_j(a_{ij}=a_{ji})$$
　　是一个实二次型。若存在$n$维实向量$X_1$与$X_2$，使
$$X'_1AX_1>0,X'_2AX_2<0$$
　　证明：必存在$n$维实向量$X_0 \ne 0$，使
$$X'_0AX_0=0$$

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解法1：
　　设$A$的秩为$r$，作实非退化线性替换
$$X=CY$$
　　将$f$化为规范形
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X'AX=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2(r=p+q)$$
　　由于存在两个向量
$$X_1,X_2$$
　　使
$$X'_1AX_1>0,X'_2AX_2<0$$
　　从而可得
$$p>0.q>0$$
　　令
$$y_1=y_{p+1}=1,y_2=\cdots=y_p=y_{p+q}=0$$
　　取$n$维列向量
$$X_0=C\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1^{(1)}}\\
{0}\\
{\vdots}\\
{0}\\
{1^{(p+1)}}\\
{0}\\
{\cdots}\\
{0}
\end{array}} \right)$$
　　由于
$$X=CY$$
　　非退化，故
$$X_0 \ne 0$$
　　且有
$$f=X'_0AX_0=0$$

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解法2：
　　二次型展开后是二次齐次多项式，它是多元连续函数
　　由于存在$n$维实向量$X_1$与$X_2$，使
$$X'_1A_1X>0,X'_2AX_2<0$$
　　根据多元函数介值定理
　　必存在$n$维实向量$X_0 \ne 0$，使
$$X'_0AX_0=0$$