蓝以中上册 双线性函数与二次型 365页 习题三5 解答

castelu

习题三5：
　　设
$$f=l_1^2+l_2^2+\cdots+l_p^2--l_{p+1}^2-\cdots-l_{p+q}^2$$
　　其中
$$l_i(i=1,2,\cdots,p+q)$$
　　是
$$x_1,x_2,\cdots,x_n$$
　　的实系数的一次齐次函数，即
$$l_i=a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n$$
　　证明$f$的正惯性指数$\le p$，负惯性指数$\le q$

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解法1：
　　使用线性空间的语言
　　即设$R$上$n$维线性空间$V$内对称双线性函数$f(\alpha,\beta)$
　　其二次型函数$Q_f(\alpha)$在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　下解析表达式为题中实二次型$f$
　　现在找一组新基化简$f$的表达式
　　也就是找一个基变换矩阵$T$
　　设向量组
$$\alpha_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in})(i=1,2,\cdots,p)$$
　　的一个极大线性无关部分组是
$$\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ir}$$
　　把它扩充为$R^n$的一组基
$$\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ir},\beta_1,\cdots,\beta_s(r+s=n)$$
　　以它们为行向量排成$n$阶可逆实方阵$T$
　　如果作可逆线性变数替换
$$Y=TX$$
　　这时
$$l_{i1},l_{i2},\cdots,l_{ir}$$
　　变成
$$y_1,y_2,\cdots,y_r$$
　　而其他$\alpha_i$可被
$$\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ir}$$
　　线性表示，即任一
$$l_i(1 \le i \le p)$$
　　可被
$$l_{i1},l_{i2},\cdots,l_{ir}$$
　　线性表示
　　从而$l_i$在上述可逆变数线性替换下变成
$$y_1,y_2,\cdots,y_r$$
　　的线性组合，而
$$l_{p+j}(j=1,2,\cdots,q)$$
　　则变成
$$y_1,y_2,\cdots,y_n$$
　　的线性组合。于是在
$$Y=TX$$
　　变换下，$f$变为
$$\begin{eqnarray*}
g&=&y_1^2+\cdots+y_r^2+m_{r+1}^2+\cdots+m_p^2\\
&=&-m_{p+1}^2-\cdots-m_{p+q}^2
\end{eqnarray*}$$
　　其中
$$m_{r+i}(1 \le i \le p-r)$$
　　为
$$y_1,y_2,\cdots,y_r$$
　　的线性型。此时
$$X=T^{-1}Y$$
　　这相当于在$V$内作基变换
$$(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)T^{-1}$$
　　$Q_f(\alpha)$在基
$$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$$
　　下的解析表达式即为$g$
　　现令
$$M=L(\eta_{r+1},\cdots,\eta_n)$$
　　则当$\alpha \in M$时，有
$$\alpha=y_{r+1}\eta_{r+1}+y_{r+2}\eta_{r+2}+\cdots+y_n\eta_n$$
　　于是
$$Q_f(\alpha)=g(0,\cdots,0,y_{r+1},\cdots,y_n)=-m_{p+1}^2-\cdots-m_{p+q}^2 \le 0$$
　　现设$Q_f(\alpha)$在基
$$w_1,w_2,\cdots,w_n$$
　　下变为规范形
$$h=z_1^2+\cdots+z_u^2-z_{u+1}^2-\cdots-z_{u+v}^2$$
　　则$u$即为$f$的正惯性指数
　　令
$$N=L(w_1,\cdots,w_u)$$
　　则对
$$\alpha \in N,\alpha \ne 0$$
　　有
$$\alpha=a_1w_1+\cdots+a_uw_u$$
　　此时
$$Q_f(\alpha)=h(a_1,\cdots,a_u,0,\cdots,0)=a_1^2+\cdots+a_u^2>0$$
　　由此知
$$M \cap N=\left\{0\right\}$$
　　由维数公式，有
$$\begin{eqnarray*}
n&\ge&\dim(M+N)=\dim M+\dim N-\dim (M \cap N)\\
&=&n-r+u
\end{eqnarray*}$$
　　由此知
$$p \ge r \ge u$$
　　同法可证负惯性指数
$$v \le q$$

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解法2：
　　设$f$经可逆线性变数替换
$$Y=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{y_1}\\
{y_2}\\
{\vdots}\\
{y_n}
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{t_{11}}&{\cdots}&{t_{1n}}\\
{t_{21}}&{\cdots}&{t_{2n}}\\
{\vdots}&{}&{\vdots}\\
{t_{n1}}&{\cdots}&{t_{nn}}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{x_1}\\
{x_2}\\
{\vdots}\\
{x_n}
\end{array}} \right)=TX$$
　　化为规范形
$$g=y_1^2+\cdots+y_u^2-y_{u+1}^2-\cdots-y_{u+v}^2$$
　　如果
$$u>p$$
　　考查如下齐次线性方程组
$$\left\{ \begin{array}{l}
a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=0\\
\cdots\\
a_{p1}x_1+\cdots+a_{pn}x_n=0\\
t_{u+1,1}x_1+\cdots+t_{u+1,n}x_n=0\\
\cdots\\
t_{n1}x_1+\cdots+t_{nn}x_n=0
\end{array} \right.$$
　　它有
$$p+(n-u)=n+(p-u)<n$$
　　个方程，有$n$个未知量，其系数矩阵$A$只有$n-(u-p)$行
$$r(A) \le n-(u-p)<n$$
　　其基础解系含
$$n-r(A)=u-p>0$$
　　个向量，故它应有一组非零解
$$x_1=a_1,x_2=a_2,\cdots,x_n=a_n$$
　　令
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{b_1}\\
{b_2}\\
{\vdots}\\
{b_n}
\end{array}} \right)=T\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{a_1}\\
{a_2}\\
{\vdots}\\
{a_n}
\end{array}} \right)$$
　　因$T$可逆，故
$$b_1,b_2,\cdots,b_n$$
　　不全为$0$
　　但由上面齐次线性方程组后$n-u$个方程可知有
$$b_{u+1}=b_{u+2}=\cdots=b_n=0$$
　　于是
$$\begin{eqnarray*}
g(b_1,b_2,\cdots,b_n)&=&b_1^2+\cdots+b_u^2>0\\
&=&f(a_1,a_2,\cdots,a_n)=l_1^2+\cdots+l_p^2-l_{p+1}^2-\cdots-l_{p+q}^2
\end{eqnarray*}$$
　　但由上面齐次线性方程组前$p$个方程可知有
$$l_1(a_1,a_2,\cdots,a_n)=\cdots=l_p(a_1,a_2,\cdots,a_n)=0$$
　　于是
$$f(a_1,a_2,\cdots,a_n)=-l_{p+1}^2-\cdots-l_{p+q}^2 \le 0$$
　　矛盾
　　于是
$$u \le p$$
　　同法可证
$$v \le q$$