蓝以中上册 双线性函数与二次型 366页 习题三9 解答

castelu

习题三9：
　　设$V$是实数域上的$n$维线性空间，$f(\alpha,\beta)$是$V$内对称双线性函数，令
$$N(f)=\left\{\alpha \in V|Q_f(\alpha)=0\right\}$$
　　在$V$内取定义组基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　后$Q_f(\alpha)$对应于实二次型$X'AX$。如果此实二次型正惯性指数为$p$，负惯性指数为$q$。证明包含在$N(f)$内的子空间的最大维数是
$$n-\max\left\{p,q\right\}=\min\left\{p,q\right\}+n-r$$
　　其中$r$为二次型$X'AX$的秩。

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解：
　　设$Q_f(\alpha)$在基
$$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$$
　　下成为规范形
$$g=u_1^2+u_2^2+\cdots+u_p^2-u_{p+1}^2-\cdots-u_{p+q}^2$$
　　这里
$$p+q=r$$
　　若
$$p \ge q$$
　　则
$$L(\eta_1+\eta_{p+1},\eta_2+\eta_{p+2},\cdots,\eta_q+\eta_{p+q},\eta_{r+1},\cdots,\eta_n)$$
　　是包含于$N(f)$的
$$n-r+q=n-p$$
　　维子空间
　　若
$$p \le q$$
　　易知$N(f)$中含
$$n-q$$
　　维子空间
　　现设
$$p \ge q$$
　　命$M$是含于$N(f)$且维数最大的子空间
　　现令
$$W=L(\eta_1,\cdots,\eta_p)$$
　　则对任意
$$\alpha \in W,\alpha \ne 0$$
　　有
$$\alpha=u_1\eta_1+\cdots+u_p\eta_p$$
$$Q_f(\alpha)=u_1^2+\cdots+u_p^2>0$$
　　由此知
$$M \cap W=\left\{0\right\}$$
　　根据维数公式，有
$$n-p \le \dim M=\dim (M+W)-\dim W \le n-p$$
　　即
$$\dim M=n-p$$
　　若
$$p<q$$
　　命
$$W=L(\eta_{p+1},\cdots,\eta_{p+q})$$
　　则对
$$\alpha \in W,\alpha \ne 0$$
　　有
$$\alpha=u_{p+1}\eta_{p+1}+\cdots+u_{p+q}\eta_{p+q}$$
　　于是
$$Q_f(\alpha)=-u_{p+1}^2-\cdots-u_{p+q}^2<0$$
　　我们有
$$M \cap W=\left\{0\right\}$$
　　于是
$$n-q \le \dim M=\dim (M+W)-\dim W \le n-q$$
　　即
$$\dim M=n-q$$