蓝以中上册 双线性函数与二次型 370页 习题四6 解答

castelu

习题四5：
　　设$A$是$n$阶实对称矩阵，证明：存在一个正实数$c$，使对任一实$n$维向量$X$（表成列形式）都有
$$|X'AX| \le cX'X$$

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解：
　　根据《蓝以中上册 双线性函数与二次型 370页 习题四4 解答》
　　存在正实数$c_1$，使$c_1E+A$正定，于是
$$X'(c_1E+A)X \ge 0$$
　　即
$$c_1X'X+X'AX \ge 0$$
　　由此推知
$$X'AX \ge -c_1X'X$$
　　另一方面，同样按《蓝以中上册 双线性函数与二次型 370页 习题四4 解答》
　　存在正实数$c_2$，使$c_2E-A$正定，于是
$$X'(c_2E-A)X \ge 0$$
　　即
$$c_2X'X-X'AX \ge 0$$
　　由此推知
$$c_2X'X \ge X'AX$$
　　令
$$c=\max\left\{c_1,c_2\right\}$$
　　则有
$$|X'AX| \le cX'X$$