蓝以中上册 双线性函数与二次型 371页 习题四11 解答

castelu

习题四11：
　　给定实二次型
$$f=X'AX(A'=A)$$
　　证明$f$半正定的充分必要条件是$A$的所有主子式都为非负实数。举例说明：如果仅有$A$的所有顺序主子式都非负，$f$未必是半正定的。

---

解：
　　$f$半正定即其规范形为
$$y_1^2+\cdots+y_r^2$$
　　从而$A$合同于主对角线上有$r$个$1$，其余为$0$的对角矩阵$D$
　　于是
$$|T'AT|=|T|^2|A|=|D| \ge 0$$
　　亦即
$$|A| \ge 0$$
（1）若$f$半正定，设$R$上$n$维线性空间$V$内对称双线性函数
$$f(\alpha,\beta)$$
　　在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　下矩阵为$A$
　　对$A$的任一主子式
$$A\left\{\begin{array}{*{20}{c}}
{i_1}&{i_2}&{\cdots}&{i_r}\\
{i_1}&{i_2}&{\cdots}&{i_r}
\end{array}\right\}$$
　　考查子空间
$$M=L(\epsilon_{i_1},\epsilon_{i_2},\cdots,\epsilon_{i_r})$$
　　$Q_f(\alpha)$限制在$M$内其值也非负
　　即$Q_f(\alpha)$在$M$内半正定，它在基
$$\epsilon_{i_1},\epsilon_{i_2},\cdots,\epsilon_{i_r}$$
　　下矩阵的行列式
$$A\left\{\begin{array}{*{20}{c}}
{i_1}&{i_2}&{\cdots}&{i_r}\\
{i_1}&{i_2}&{\cdots}&{i_r}
\end{array}\right\} \ge 0$$
（2）设$B=(b_{ij})$是$m$阶实方阵，令
$$f(t)=|tE+B|=t^m+a_1t^{m-1}+\cdots+a_m$$
　　容易证明
$$a_{m-i}=f^{(i)}(0)=B$$
　　的所有$m-i$阶主子式之和
　　对任意正实数$t$，考查
$$A(t)=tE+A$$
　　设$A$左上角$r$阶子块为$A_r$，我们有
$$|tE_r+A_r|=t^r+a_{r1}t^{r-1}+\cdots+a_{rr}$$
　　因为
$$a_{r,r-i}=A_r所有r-i阶主子式之和 \ge 0$$
　　（因$A_r$的主子式均为$A$的主子式，故均非负）
　　于是，对任意正实数$t$
$$|tE_r+A_r|>0$$
　　这里
$$r=1,2,\cdots,n$$
　　根据$Hurwitz$定理，$tE+A$正定
　　于是对任意正整数$t$，有
$$f_t=X'(tE+A)X>0（当X \ne 0时）$$
　　令$t \to 0^+$，则
$$f=\lim\limits_{t \to 0^+}f_t=\lim\limits_{t \to 0^+}(X'(tE+A)X) \ge 0$$
　　即$f$为半正定二次型。
　　与正定二次型不同，单由$A$的所有顺序主子式非负不能断定该二次型半正定。例如
$$f=-x_2^2=(x_1,x_2)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{0}\\
{0}&{-1}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{x_1}\\
{x_2}
\end{array}} \right)$$
　　它是半负定二次型，但所有顺序主子式均非负。