蓝以中下册 带度量的线性空间 14页 习题一1 解答

castelu

习题一1：
　　设$A$是$n$阶正定矩阵。在$R^n$中定义二元函数$(\alpha,\beta)$如下：若
$$\alpha=(x_1,x_2,\cdots,x_n),\beta=(y_1,y_2,\cdots,y_n)$$
　　则令
$$(\alpha,\beta)=\alpha A \beta'$$
　　证明：
（1）$(\alpha,\beta)$满足内积条件（线性性、对称性和正定性），从而$R^n$关于这个内积也成一欧式空间；
（2）写出这个欧式空间的$Cauchy-Bunjakovskii$不等式。

---

解：
（1）（i）对任意$k_1,k_2 \in R$和任意$\alpha_1,\alpha_2,\beta \in R^n$，有
$$(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2) A \beta'=k_1\alpha_1 A \beta'+k_2\alpha_2 A \beta'$$
（ii）由于$A$是$n$阶正定矩阵，故$A$实对称，即$A'=A$
　　对任意$\alpha,\beta \in R^n$，有
$$\alpha A \beta'=\beta A \alpha'$$
（iii）由于$A$是$n$阶正定矩阵，故
　　对任意$\alpha \in R^n$，有
$$\alpha A \alpha' \ge 0$$
　　且
$$\alpha A \alpha'=0$$
　　的充分必要条件是
$$\alpha=0$$
　　所以，$(\alpha,\beta)$满足内积条件（线性性、对称性和正定性）
　　从而$R^n$关于这个内积也成一欧式空间
（2）$Cauchy-Bunjakovskii$不等式
　　对欧式空间$R^n$内任意两个向量$\alpha,\beta$，若
$$\alpha=(x_1,x_2,\cdots,x_n),\beta=(y_1,y_2,\cdots,y_n)$$
　　有
$$\left(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_iy_j\right)^2 \le \left(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j\right)\left(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}y_iy_j\right)$$
　　等号成立的充分必要条件是：$\alpha,\beta$线性相关。