蓝以中下册 带度量的线性空间 14页 习题一2 解答

castelu

习题一2：
　　在$M_n(R)$中考虑全体$n$阶对称矩阵所成的子空间$V$。在$V$中定义二元函数如下：
$$(A,B)={\rm Tr}(AB)$$
　　证明：这个函数满足内积条件，从而$V$关于它成一欧式空间。

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解：
（i）对任意$k_1,k_2 \in R$和任意$A_1,A_2,B \in M_n(R)$，有
$${\rm Tr}((k_1A_1+k_2A_2)B)=k_1{\rm Tr}(A_1B)+k_2{\rm Tr}(A_2B)$$
（ii）根据《蓝以中上册 向量空间与矩阵 141页 习题五23 解答》
　　对任意$A,B \in M_n(R)$，有
$${\rm Tr}(AB)={\rm Tr}(BA)$$
（iii）对任意$A \in M_n(R)$，$A'=A$，有
$${\rm Tr}(A^2)={\rm Tr}(AA')$$
　　根据《蓝以中上册 向量空间与矩阵 141页 习题五23 解答》
$${\rm Tr}(AA') \ge 0$$
　　且
$${\rm Tr}(AA') = 0$$
　　的充分必要条件是
$$A=0$$
　　所以，$(A,B)$满足内积条件（线性性、对称性和正定性）
　　从而$R^n$关于这个内积成一欧式空间。