蓝以中下册 带度量的线性空间 17页 习题一19 解答

castelu

习题一19：
　　设$A$是$n$阶正定矩阵，证明存在一个上三角矩阵$T$，使
$$A=T'T$$

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解：
　　现在$A$合同于单位矩阵
　　即有$n$阶实可逆矩阵$B$，使
$$A=B'EB=B'B$$
　　根据《蓝以中下册 带度量的线性空间 17页 习题一18 解答》
　　存在正交矩阵$Q$和实上三角矩阵$T$，使
$$B=QT$$
　　于是
$$A=B'B=(T'Q')(QT)=T'(Q'Q)T=T'T$$