蓝以中下册 带度量的线性空间 38页 习题二1 解答

castelu

习题二1：
　　设$\eta$是$n$维欧式空间$V$的一个单位向量，定义$V$内一个线性变换如下：
$$A\alpha=\alpha-2(\eta,\alpha)\eta(\alpha \in V)$$
　　称这样的线性变换$A$为一个镜面反射。证明：
（1）$A$是正交变换；
（2）$A$是第二类的；
（3）$A^2=E$；
（4）设$B$是$V$内一个第二类正交变换，则必有
$$B=AB_1$$
　　其中$B_1$是$V$内的一个第一类正交变换。

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解：
（1）我们有
$$\begin{eqnarray*}
(A\alpha,A\beta)&=&(\alpha-2(\eta,\alpha)\eta,\beta-2(\eta,\beta)\eta)\\
&=&(\alpha,\beta)-2(\eta,\alpha)(\eta,\beta)-2(\eta,\beta)(\eta,\alpha)+4(\eta,\alpha)(\eta,\beta)(\eta,\eta)\\
&=&(\alpha,\beta)
\end{eqnarray*}$$
　　故$A$为$V$内正交变换。
（2）将$\eta=\epsilon_1$扩充为$V$的一组标准正交基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　我们有（注意$(\eta,\epsilon_i)=(\epsilon_1,\epsilon_i)=0$，当$i>1$时）
$$A\epsilon_1=\epsilon_1-2(\eta,\epsilon_1)\eta=\eta-2\eta=-\epsilon_1$$
$$A\epsilon_i=\epsilon_i-2(\eta,\epsilon_i)\eta=\epsilon_i(i>1)$$
　　故$A$在此组基下的矩阵为
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{-1}&{}&{}&{}\\
{}&{1}&{}&{}\\
{}&{}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{}&{1}
\end{array}} \right)$$
　　显然$|A|=-1$
　　$A$在任何一组基下的矩阵与$A$相似，相似矩阵行列式相等，故$A$在任何一组基下矩阵的行列式为$-1$。
（3）$A^2$在（2）中取定的标准正交基下的矩阵是
$$A^2=E$$
　　故
$$A^2=E$$
（4）由（1）$A$是正交变换，再由（2）$A$是第二类的，故
$$|A|=-1$$
　　$B_1$是$V$内的一个第一类正交变换
$$|B_1|=1$$
　　那么
$$B=AB_1$$
　　显然是正交变换，且
$$|B|=|A||B_1|=-1$$
　　于是$B$是$V$内一个第二类正交变换。