蓝以中下册 带度量的线性空间 38页 习题二3 解答

castelu

习题二3：
　　设
$$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$$
　　和
$$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$$
　　是$n$维欧式空间$V$中两个向量组，证明存在一个正交变换$A$，使
$$A\alpha_i=\beta_i(i=1,2,\cdots,s)$$
　　的充分必要条件是
$$(\alpha_i,\alpha_j)=(\beta_i,\beta_j)(i,j=1,2,\cdots,s)$$

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解：
　　必要性
　　设$A$是正交变换，且
$$A\alpha_i=\beta_i(i=1,2,\cdots,n)$$
　　所以
$$(\beta_i,\beta_j)=(A\alpha_i,A\alpha_j)=(\alpha_i,\alpha_j),(i,j=1,2,\cdots,n)$$
　　充分性
　　设
$$(\alpha_i,\alpha_j)=(\beta_i,\beta_j)(i,j=1,2,\cdots,n)$$
　　设
$$\sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i=0$$
　　则
$$\left(\sum\limits_{i=1}^nk_i\beta_i,\beta_j\right)=\sum\limits_{i=1}^nk_i(\beta_i,\beta_j)=\sum\limits_{i=1}^nk_i(\alpha_i,\alpha_j)=\left(\sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i,\alpha_j\right)=0$$
　　从而
$$\sum\limits_{i=1}^nk_i\beta_i=0$$
　　同理由
$$\sum\limits_{i=1}^nk_i\beta_i=0$$
　　可得
$$\sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i=0$$
　　所以
$$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$$
　　与
$$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$$
　　有相同的线性关系
　　不妨设
$$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$$
　　是
$$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$$
　　的极大无关组，则
$$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r$$
　　是
$$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$$
　　的极大无关组，把
$$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$$
　　施行正交化过程得标准正交组
$$(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_r)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{t_{11}}&{t_{12}}&{\cdots}&{t_{1r}}\\
{0}&{t_{22}}&{\cdots}&{t_{2r}}\\
{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\
{0}&{0}&{\cdots}&{t_{nr}}
\end{array}} \right)$$
　　设
$$T=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{t_{11}}&{t_{12}}&{\cdots}&{t_{1r}}\\
{0}&{t_{22}}&{\cdots}&{t_{2r}}\\
{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\
{0}&{0}&{\cdots}&{t_{nr}}
\end{array}} \right)$$
　　则有
$$(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r)T$$
　　也是
$$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r$$
　　施行正交化过程而得的标准正交基
　　把
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_r$$
　　扩充为$V$的标准正交基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　把
$$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_r$$
　　扩充为$V$的标准正交基
$$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$$
　　令
$$A\epsilon_i=\eta_i(i=1,2,\cdots,n)$$
　　则$A$是一个正交变换，且
$$(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r)T=(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_r)=(A\epsilon_1,A\epsilon_2,\cdots,A\epsilon_r)=(A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_r)T$$
　　又由于$T$可逆可知
$$(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r)=(A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_r)$$
　　即
$$A\alpha_i=\beta_i(i=1,2,\cdots,r)$$
　　又有
$$A\alpha_s=\sum\limits_{i=1}^rk_{is}A\alpha_i=\sum\limits_{i=1}^nk_{is}\beta_i=\beta_s(s=1,2,\cdots,n)$$