蓝以中下册 带度量的线性空间 39页 习题二6 解答

castelu

习题二6：
　　设$A$是欧式空间$V$内的一个变换，对任意$\alpha,\beta \in V$，有
$$(A\alpha,A\beta)=(\alpha,\beta)$$
　　证明$A$是一个正交变换。

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解：
　　需要证明$A$是一个线性变换
　　对任意$\alpha,\beta \in V$，有
$$\begin{eqnarray*}
&&(A(\alpha+\beta)-A\alpha-A\beta,A(\alpha+\beta)-A\alpha-A\beta)\\
&=&(A(\alpha+\beta),A(\alpha+\beta))-(A\alpha,A(\alpha+\beta))\\
&-&(A\beta,A(\alpha+\beta))-(A(\alpha+\beta),A\alpha)+(A\alpha,A\alpha)\\
&+&(A\beta,A\alpha)-(A(\alpha+\beta),A\beta)+(A\alpha,A\beta)+(A\beta,A\beta)\\
&=&(\alpha+\beta,\alpha+\beta)-(\alpha,\alpha+\beta)-(\beta,\alpha+\beta)\\
&-&(\alpha+\beta,\alpha)+(\alpha,\alpha)+(\beta,\alpha)-(\alpha+\beta,\beta)\\
&+&(\alpha,\beta)+(\beta,\beta)=0
\end{eqnarray*}$$
　　根据内积性质推知
$$A(\alpha+\beta)-A\alpha-A\beta=0$$
　　对任意$k \in R,\alpha \in V$，有
$$\begin{eqnarray*}
&&(A(k\alpha)-kA\alpha,A(k\alpha)-kA\alpha)\\
&=&(A(k\alpha),A(k\alpha)-k(A\alpha,A(k\alpha))\\
&-&k(A(k\alpha),A\alpha)+k^2(A\alpha,A\alpha)\\
&=&(k\alpha,k\alpha)-k(\alpha,k\alpha)-k(k\alpha,\alpha)+k^2(\alpha,\alpha)\\
&=&0
\end{eqnarray*}$$
　　由此推知
$$A(k\alpha)-kA\alpha=0$$
　　综合以上结果知$A$是$V$内线性变换，从而是正交变换。