蓝以中下册 带度量的线性空间 39页 习题二7 解答

castelu

习题二7：
　　设$V$是$n$维欧式空间，$A$是镜面反射，$B$是$V$内一正交变换。证明$B^{-1}AB$也是$V$内一镜面反射。

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解：
　　考查$B^{-1}AB$的作用：因为$B^{-1}$也是正交变换，故$\forall \alpha \in V$，有
$$\begin{eqnarray*}
B^{-1}AB(\alpha)&=&B^{-1}(B(\alpha)-2(\eta,B(\alpha))\eta)\\
&=&\alpha-2(\eta,B(\alpha))B^{-1}\eta\\
&=&\alpha-2(B^{-1}(\eta),B^{-1}B(\alpha))B^{-1}\eta\\
&=&\alpha-2(B^{-1}(\eta),\alpha)B^{-1}\eta
\end{eqnarray*}$$
　　因为
$$(B^{-1}\eta,B^{-1}\eta)=(\eta,\eta)=1$$
　　故$B^{-1}\eta$是$V$中一个单位向量，上式表明：$B^{-1}AB$是由单位向量$B^{-1}\eta$决定的镜面反射。