蓝以中下册 带度量的线性空间 41页 习题二19 解答

castelu

习题二19：
　　设$A$为正定矩阵，$B$为实数矩阵。
（1）证明：对于任意正整数$k$，$A^k$正定；
（2）如果对于某一正整数$r$有$A^rB=BA^r$，证明
$$AB=BA$$

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解：
（1）$A$为实对称矩阵，可以看做$n$维欧式空间$V$内一个对称变换$A$在一组标准正交基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　下的矩阵
　　按定理，$V$内存在标准正交基
$$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$$
　　使$A$在此组基下矩阵为对角形
$$D=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\lambda_1}&{}&{}&{}\\
{}&{\lambda_2}&{}&{}\\
{}&{}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{}&{\lambda_n}
\end{array}} \right)$$
　　令
$$(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)T$$
　　则$T$为正交矩阵，即
$$T'=T^{-1}$$
　　于是
$$T'AT=T^{-1}AT=D$$
　　这表示$A$合同于对角矩阵$D$
　　这相当于实二次型作可逆线性变数替换化为标准型
$$\begin{eqnarray*}
f&=&X'AX=Y'(T'AT)Y=Y'DY\\
&=&\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2
\end{eqnarray*}$$
　　显然
$$f正定 \Leftrightarrow A正定 \Leftrightarrow \lambda_i>0(i=1,2,\cdots,n)$$
　　此时
$$T'A^kT=T^{-1}A^kT=(T^{-1}AT)^k=D^k$$
　　当
$$\lambda_i>0$$
　　时
$$\lambda_i^k>0$$
　　这表明$A^k$合同于主对角线元素全为正实数的对角矩阵$D^k$
　　故$A^k$也正定。
（2）若
$$A^rB=BA^r$$
　　则
$$T^{-1}(A^rB)T=T^{-1}(BA^r)T$$
　　由之立即推出
$$(T^{-1}AT)^r(T^{-1}BT)=(T^{-1}BT)(T^{-1}AT)^r$$
　　令
$$B_1=T^{-1}BT$$
　　则
$$D^rB_1=B_1D^r$$
　　设
$$B_1=(b_{ij})$$
　　利用左、右乘对角矩阵的性质可知有
$$\lambda_i^rb_{ij}=\lambda_j^rb_{ij}$$
　　若$b_{ij} \ne 0$，由上式推知
$$\lambda_i^r=\lambda_j^r$$
　　因
$$\lambda_i>0,\lambda_j>0$$
　　故
$$\lambda_i=\lambda_j$$
　　于是
$$\lambda_ib_{ij}=\lambda_jb_{ij}$$
　　若
$$b_{ij}=0$$
　　则此式自然成立
　　这表示
$$DB_1=B_1D$$
　　代回原式，得
$$(T^{-1}AT)(T^{-1}BT)=(T^{-1}BT)(T^{-1}AT)$$
　　两边左乘$T$，右乘$T^{-1}$，即得
$$AB=BA$$