蓝以中下册 带度量的线性空间 42页 习题二29 解答

castelu

习题二29：
　　设$U$是$n$维欧式空间，$V$是$m$维欧式空间（$m \ge 3$）。在$U$内取定一组标准正交基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
（1）在$\hom(U,V)$内定义内积如下：对于任意$f,g \in \hom(U,V)$，令
$$(f,g)=\sum\limits_{i=1}^n(f(\epsilon_i),g(\epsilon_i))$$
　　证明$\hom(U,V)$关于此内积成为欧式空间；
（2）在上题所定义的欧式空间$\hom(U,V)$内，对于任意
$$A \in \rm{End}(U)$$
　　定义
$$(T(A)f)(\alpha)=f(A\alpha)(\forall f \in \hom(U,V),\alpha \in U)$$
　　则$T(A)$是$\hom(U,V)$内的一个线性变换。证明$T(A)$是$\hom(U,V)$内的正交变换的充分必要条件是$A$是$U$内的正交变换。

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解：
（1）我们有
$$\begin{eqnarray*}
(k_1f_1+k_2f_2,g)&=&\sum\limits_{i=1}^n((k_1f_1+k_2f_2)(\epsilon_i),g(\epsilon_i))\\
&=&k_1\sum\limits_{i=1}^n(f_1(\epsilon_i),g(\epsilon_i))+k_2\sum\limits_{i=1}^n(f_2(\epsilon_i),g(\epsilon_i))\\
&=&k_1(f_1,g)+k_2(f_2,g)
\end{eqnarray*}$$
$$\begin{eqnarray*}
(f,g)&=&\sum\limits_{i=1}^n(f(\epsilon_i),g(\epsilon_i))&=&\sum\limits_{i=1}^n(g(\epsilon_i),f(\epsilon_i))\\
&=&(g,f)
\end{eqnarray*}$$
$$(f,f)=\sum\limits_{i=1}^n(f(\epsilon_i),f(\epsilon_i)) \ge 0$$
　　且
$$(f,f)=0 \Leftrightarrow (f(\epsilon_i),f(\epsilon_i))=0 \Leftrightarrow f(\epsilon_i)=0(i=1,2,\cdots,n)$$
　　因
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　是$U$的一组基，这推出
$$f=0$$
　　综上所述知$\hom(U,V)$关于上述内积成一欧式空间。
（2）首先因$A$是线性变换，由此知
$$T(A)f \in \hom(U,V)$$
　　对任意
$$\alpha \in U$$
　　又有
$$\begin{eqnarray*}
&&(T(A)(k_1f_1+k_2f_2))(\alpha)=(k_1f_1+k_2f_2)(A\alpha)\\
&=&k_1f_1(A\alpha)+k_2f_2(A\alpha)\\
&=&k_1(T(A)f_1)\alpha+k_2(T(A)f_2)\alpha\\
&=&(k_1T(A)f_1+k_2T(A)f_2)(\alpha)
\end{eqnarray*}$$
　　由上式推知
$$T(A)(k_1f_1+k_2f_2)=k_1T(A)f_1+k_2T(A)f_2$$
　　即$T(A)$是$\hom(U,V)$内一个线性变换
　　根据定义，我们有
$$\begin{eqnarray*}
(T(A)f,T(A)g)&=&\sum\limits_{i=1}^n(T(A)f(\epsilon_i),T(A)g(\epsilon_i))\\
&=&\sum\limits_{i=1}^n(f(A\epsilon_i),g(A\epsilon_i))
\end{eqnarray*}$$
　　现设$A$在标准正交基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　下的矩阵为$A=(a_{ij})$，$A$是正交变换$\Leftrightarrow A$是正交矩阵
　　现在我们有
$$\begin{eqnarray*}
(T(A)f,T(A)g)&=&\sum\limits_{i=1}^n\left(f\left(\sum\limits_{j=1}^na_{ij}\epsilon_j\right),g\left(\sum\limits_{k=1}^na_{ki}\epsilon_k\right)\right)\\
&=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^na_{ji}a_{ki}(f(\epsilon_j),g(\epsilon_k))
\end{eqnarray*}$$
（i）设$A$是正交变换，则$A$是正交矩阵，其行向量组是$R^n$中一组标准正交基，即
$$\sum\limits_{i=1}^na_{ji}a_{ki}=\delta_{jk}$$
　　代入上式得
$$\begin{eqnarray*}
(T(A)f,T(A)g)&=&\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^na_{ji}a_{ki}\right)(f(\epsilon_i),g(\epsilon_k))\\
&=&\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^n(f(\epsilon_i),g(\epsilon_k))\delta_{jk}\\
&=&\sum\limits_{j=1}^n(f(\epsilon_i),g(\epsilon_j))\\
&=&(f,g)
\end{eqnarray*}$$
　　这表明$T(A)$是$\hom(U,V)$内一正交变换
（ii）若已知$T(A)$为正交变换，则对任意$f,g \in \hom(U,V)$
$$\begin{eqnarray*}
(T(A)f,T(A)g)&=&\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^na_{ji}a_{ki}\right)(f(\epsilon_i),g(\epsilon_k))\\
&=&(f,g)=\sum\limits_{l=1}^n(f(\epsilon_l),g(\epsilon_l))
\end{eqnarray*}$$
　　现在$V$内取定一单位向量$\eta$。对
$$1 \le j_0 \le n,1 \le k_0 \le n$$
　　我们可定义$f_{j_0},g_{k_0} \in \hom(U,V)$使
$$f_{j_0}(\epsilon_i)=\left\{ \begin{array}{l}
\eta,若i=j_0\\
0,其他
\end{array} \right.$$
$$g_{k_0}(\epsilon_i)=\left\{ \begin{array}{l}
\eta,若i=k_0\\
0,其他
\end{array} \right.$$
　　那么，我们有
$$\begin{eqnarray*}
(T(A)f_{j_0},T(A)g_{k_0})&=&\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^na_{ji}a_{ki}\right)(f_{j_0}(\epsilon_i),g_{k_0}(\epsilon_k))\\
&=&\sum\limits_{i=1}^na_{j_0i}a_{k_0i}(\eta,\eta)=\sum\limits_{i=1}^na_{j_0i}a_{k_0i}\\
&=&(f_{j_0},g_{k_0})=\sum\limits_{l=1}^n(f_{j_0}(\epsilon_l),g_{k_0}(\epsilon_l))=\delta_{j_0k_0}
\end{eqnarray*}$$
　　这表示$A$的行向量组是$R^n$的标准正交基，故$A$是正交矩阵，从而$A$是正交变换。