蓝以中下册 幂零线性变换的Jordan标准型 81页 习题一5 解答

castelu

习题一5：
　　在$K[x]_n$内定义线性变换：
$$Dx^k=kx^{k-1}(k=1,2,\cdots,n-1),D_1=0$$
　　证明$D$是一个循环幂零线性变换，并求它的一组循环基。

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解：
　　显然，线性变换$D$在基
$$1,x,\frac{x^2}{2},\cdots,\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$$
　　下的矩阵是
$$D=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{1}&{0}&{\cdots}&{0}\\
{0}&{0}&{1}&{\cdots}&{0}\\
{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\
{0}&{0}&{0}&{\cdots}&{1}\\
{0}&{0}&{0}&{\cdots}&{0}
\end{array}} \right)$$
　　我们有
$$D^{n-1} \ne 0,D^n=0$$
　　于是$D$是一个循环幂零线性变换，循环基为
$$1,x,\frac{x^2}{2},\cdots,\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$$