蓝以中下册 幂零线性变换的Jordan标准型 81页 习题一11 解答

castelu

习题一11：
　　设$A \in M_2(K)$，如果存在$B \in M_2(K)$，使
$$AB-BA=A$$
　　证明$A$是一个幂零矩阵。

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解：
　　设$A=(a_{ij})$。因为
$$\begin{eqnarray*}
a_{11}+a_{22}&=&{\rm Tr}(A)={\rm Tr}(AB-BA)\\
&=&{\rm Tr}(AB)-{\rm Tr}(BA)=0
\end{eqnarray*}$$
　　又
$$\begin{eqnarray*}
A^2&=&A^2B-ABA=(A^2B-BA^2)+(BA^2-ABA)\\
&=&(A^2B-BA^2)+((BA)A-A(BA))
\end{eqnarray*}$$
　　故
$$\begin{eqnarray*}
&&a_{11}^2+a_{22}^2+2a_{12}a_{21}={\rm Tr}(A^2)\\
&=&{\rm Tr}(A^2B-BA^2)+{\rm Tr}((BA)A-A(BA))\\
&=&0
\end{eqnarray*}$$
　　因为
$$a_{11}+a_{22}=0$$
　　两边平方得
$$a_{11}^2+a_{22}^2+2a_{11}a_{22}=0$$
　　代入上式得
$$2(a_{12}a_{21}-a_{11}a_{22})=0$$
　　由此推出
$$|A|=0$$
　　于是$A$的特征多项式为
$$f(\lambda)=|\lambda E-A|=\lambda^2-{\rm Tr}(A)\lambda+|A|=\lambda^2$$
　　现在利用$Hamilton-Cayley$定理，知
$$f(A)=A^2=0$$
　　即$A$为幂零矩阵。