蓝以中下册 幂零线性变换的Jordan标准型 92页 习题二8 解答

castelu

习题二8：
　　设
$$J=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{1}&{}&{}\\
{}&{0}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{\ddots}&{1}\\
{}&{}&{}&{0}
\end{array}} \right)_{n \times n}$$
　　求$J^k$的$Jordan$标准型。

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解：
　　$J$的特征多项式
$$f(\lambda)=|\lambda E-J|=\lambda^n$$
　　故$J$为幂零线性变换，$J^k$当然也是
　　当$k \ge n$时
$$J^k=0$$
　　故设
$$1 \le k < n$$
　　现设$C$上$n$维线性空间$V$内线性变换$A$在$V$的一组基下的矩阵为$J$
　　那么
$$A\epsilon_k=\epsilon_{k-1}(k \ge 2),A\epsilon_1=0$$
　　现设
$$n=qk+r(0 \le r < k)$$
　　我们有
$$A^k(\epsilon_n)=\epsilon_{n-k},A^k(\epsilon_{n-k})=\epsilon_{n-2k},\cdots$$
$$A^k(\epsilon_{n-(q-1)k})=\left\{ \begin{array}{l}
\epsilon_r,若r>0\\
0,若r=0
\end{array} \right.,A^k(\epsilon_{n-qk})=0(当r>0时)$$
　　又对
$$1 \le i < k$$
　　我们有
$$A^k(\epsilon_{n-i})=\epsilon_{n-k-i},A^k(\epsilon_{n-k-i})=\epsilon_{n-2k-i},\cdots$$
$$A^k(\epsilon_{n-(q-1)k-i})=\left\{ \begin{array}{l}
\epsilon_{r-i},若r>i\\
0,其他
\end{array} \right.$$
　　因此，$J^k$的若尔当形是
$$D=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{D_0}&{}&{}&{}&{}\\
{}&{D_1}&{}&{}&{}\\
{}&{}&{D_2}&{}&{}\\
{}&{}&{}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{}&{}&{D_{k-1}}
\end{array}} \right)$$
　　其中
$$D_i=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{1}&{}&{}&{}\\
{}&{0}&{1}&{}&{}\\
{}&{}&{0}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{}&{\ddots}&{1}\\
{}&{}&{}&{}&{0}
\end{array}} \right)_{l_i \times l_i}$$
　　这里
$$l_0=\left\{ \begin{array}{l}
q+1,若r>0\\
q,若r=0
\end{array} \right.$$
　　当
$$1 \le i < k$$
　　时
$$l_i=\left\{ \begin{array}{l}
q+1,若i<r\\
q,若i \ge r
\end{array} \right.$$