蓝以中下册 幂零线性变换的Jordan标准型 102页 习题三9 解答

castelu

习题三9：
　　设$A$是$4$维欧式空间$V$内一正交变换。如果$A$无特征值，但$A^2,A^3$均有特征值，求$A$的最小多项式。

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解：
　　$A$无特征值时，在$V$内存在一组标准正交基，使$A$在此基下的矩阵为
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos\phi_1}&{-\sin\phi_1}&{}&{}\\
{\sin\phi_1}&{\cos\phi_1}&{}&{}\\
{}&{}&{\cos\phi_2}&{-\sin\phi_2}\\
{}&{}&{\sin\phi_2}&{\cos\phi_2}
\end{array}} \right)(\phi_i \ne k\pi)$$
　　先证准对角矩阵
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{A}&{0}\\
{0}&{B}
\end{array}} \right)$$
　　的最小多项式是主对角线上小块方阵$A,B$的最小多项式$\phi(\lambda)$和$\psi(\lambda)$的最小公倍数
　　给定数域$K$上的$m$阶方阵$A$，$n$阶方阵$B$，设它们的最小多项式分别是
$$\phi(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_1}(\lambda-\lambda_2)^{k_2}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{k_s}$$
$$\psi(\lambda)=(\lambda-\mu_1)^{l_1}(\lambda-\mu_2)^{l_2}\cdots(\lambda-\mu_t)^{l_t}$$
　　在复数域内存在可逆矩阵$T_1,T_2$，使
$$T_1^{-1}AT_1=J_1,T_2^{-1}BT_2=J_2$$
　　为若尔当形，则
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{T_1^{-1}}&{0}\\
{0}&{T_2^{-1}}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{A}&{0}\\
{0}&{B}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{T_1}&{0}\\
{0}&{T_2}
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{J_1}&{0}\\
{0}&{J_2}
\end{array}} \right)$$
　　也是若尔当形
　　设
$$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s,\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_t$$
　　中全部互不相同的复数是
$$\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_k$$
　　设
$$\lambda-\phi_i$$
　　在$\phi(\lambda)$和$\psi(\lambda)$中出现的最高方幂是$e_i$
　　它是在$J_1,J_2$中以$\phi_1$为特征值的若尔当块的最高阶数
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{A}&{0}\\
{0}&{B}
\end{array}} \right)$$
　　的最小多项式应为
$$(\lambda-\phi_1)^{e_1}(\lambda-\phi_2)^{e_2}\cdots(\lambda-\phi_k)^{e_k}$$
　　所以，准对角矩阵
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{A}&{0}\\
{0}&{B}
\end{array}} \right)$$
　　的最小多项式是主对角线上小块方阵$A,B$的最小多项式$\phi(\lambda)$和$\psi(\lambda)$的最小公倍数
　　根据此结论，只要分别求
$$B=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos\phi_1}&{-\sin\phi_1}\\
{\sin\phi_1}&{\cos\phi_1}
\end{array}} \right),C=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos\phi_2}&{-\sin\phi_2}\\
{\sin\phi_2}&{\cos\phi_2}
\end{array}} \right)$$
　　的最小多项式$\phi(\lambda),\psi(\lambda)$
　　因为$A^2$有特征值，所以$B^2,C^2$中至少有一个有实特征值
　　设$B^2$有实特征值
$$B^2=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos2\phi_1}&{-\sin2\phi_1}\\
{\sin2\phi_1}&{\cos2\phi_1}
\end{array}} \right)$$
　　它的特征多项式为
$$\lambda^2-2\cos2\phi_1\lambda+1$$
　　其判别式
$$-4\sin^22\phi_1 \ge 0$$
　　时才有实根
　　故必
$$\phi_1=\frac{\pi}{2}或\frac{3}{2}\pi（因已知\phi_1 \ne k\pi）$$
　　这表示
$$B=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{-1}\\
{1}&{0}
\end{array}} \right)或\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{1}\\
{-1}&{0}
\end{array}} \right)$$
　　它们的特征多项式都是
$$\lambda^2+1$$
　　有两个复根$\pm i$
　　因而在复数域$C$内有二阶可逆方阵$T_1$，使
$$T_1^{-1}BT_1=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{i}&{0}\\
{0}&{-i}
\end{array}} \right)$$
　　为对角矩阵，主对角线上是两个特征值不同的一阶若尔当块，故其最小多项式为
$$(\lambda-i)(\lambda+i)=\lambda^2+1$$
　　注意
$$B^3=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{-1}\\
{1}&{0}
\end{array}} \right)或\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{1}\\
{-1}&{0}
\end{array}} \right)$$
　　它没有实特征值，而$A^3$有特征值，故必$C^3$有实特征值
$$C^3=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos3\phi_2}&{-\sin3\phi_2}\\
{\sin3\phi_2}&{\cos3\phi_2}
\end{array}} \right)$$
　　同理，它的特征多项式有实根时，其判别式
$$-4\sin^23\phi_2 \ge 0$$
　　此时
$$\phi_2=\pm\frac{\pi}{3}或\pm\frac{2}{3}\pi（已知\phi_2 \ne k\pi）$$
　　现在$C$的特征多项式
$$\lambda^2-2\cos\phi_2\lambda+1$$
　　有两个复根
$$\cos\phi_2\pm i\sin\phi_2=e^{\pm i\phi_2}$$
　　即
$$\epsilon_i=e^{\frac{2k\pi i}{3}}(k=1,2)或\epsilon_1=e^{\frac{\pi}{3}i},\epsilon_2=e^{\frac{5}{3}\pi i}$$
　　故$C$在复数域内也相似于二阶对角矩阵，主对角线上元素分别为$\epsilon_1,\epsilon_2$
　　按上面命题知$C$的最小多项式为
$$(\lambda-\epsilon_1)(\lambda-\epsilon_2)=\lambda^2\pm\lambda+1$$
　　综合以上结果知$A$的最小多项式为
$$(\lambda^2-1)(\lambda^2\pm\lambda+1)$$