蓝以中下册 一元多项式环 165页 习题一28 解答

castelu

习题一28：
　　证明：数域$K$内次数$>0$的首一多项式$f(x)$是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是，对数域$K$内任意的多项式$g(x),h(x)$，由
$$f(x)|g(x)h(x)$$
　　可以推出
$$f(x)|g(x)$$
　　或者对某一正整数$m$
$$f(x)|h^m(x)$$

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解：
　　必要性
　　设
$$f(x)=g(x)h(x)$$
　　由《蓝以中下册 一元多项式环 165页 习题一27 解答》的必要性可知
　　对任意多项式$h(x)$而言，有两种可能
（1）
$$(f(x),h(x))=1,此时有f(x)|g(x)$$
（2）
$$f(x)|h^m(x),m为某一正整数$$
　　充分性
　　假设$f(x)$不是一个不可约多项式的方幂，即
$$f(x)=ap_1^{\lambda_1}(x)p_2^{\lambda_2}(x) \cdots p_n^{\lambda_n}(x)$$
　　此时有
$$f(x)|g(x)h(x)$$
　　但
$$f(x) \not| g(x)$$
　　且对任意正整数$m$
$$f(x) \not| h^m(x)$$
　　这与已知条件矛盾，故$f(x)$是某一不可约多项式的方幂。