蓝以中下册 一元多项式环 165页 习题一31 解答

castelu

习题一31：
　　证明：如果
$$f(x)|f(x^n)$$
　　那么$f(x)$在复数域内的根只能是零或单位根。

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解：
　　由于
$$f(x)|f(x^n)$$
　　所以存在多项式$q(x)$，使得
$$f(x^n)=f(x)q(x)$$
　　设$\alpha$是$f(x)$的任意一个根，即
$$f(\alpha)=0$$
　　从而也有
$$f(\alpha^n)=f(\alpha)q(\alpha)=0$$
　　也就是说$\alpha^n$是$f(x)$的根。依次类推下去，可得
$$\alpha,\alpha^n,\alpha^{n^2},\cdots$$
　　都是$f(x)$的根
　　若$f(x)$是$m$次多项式，则上式中最多只可能有$m$个数不同，所以必存在正整数$s>t$，有
$$\alpha^{n^s}=\alpha^{n^t},\alpha^{n^s}(\alpha^{n^t-n^s-1})=0$$
　　于是得
$$\alpha^{n^s}=0或\alpha^{n^t-n^s}=1$$
　　即$\alpha$或者为$0$，或者为单位根。