蓝以中下册 一元多项式环 175页 习题二8 解答

castelu

习题二8：
　　证明下面的等式：
（1）
$$\cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1} \cdots \cos\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{1}{2^n}$$
（2）
$$\sin\frac{\pi}{2n}\sin\frac{2\pi}{2n} \cdots \sin\frac{(n-1)\pi}{2n}=\frac{\sqrt n}{2^{n-1}}$$

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解：
（1）我们有
$$\begin{eqnarray*}
x^{2(2n+1)}-1&=&(x-1)(x+1)\prod\limits_{k=1}^{2n}\left(x^2-2\cos\frac{k\pi}{2n+1}x+1\right)\\
&=&(x-1)(x+1)\prod\limits_{k=1}^{n}\left(x^2-2\cos\frac{k\pi}{2n+1}x+1\right)\prod\limits_{l=1}^{n}\left(x^2-2\cos\frac{(n+l)\pi}{2n+1}x+1\right)
\end{eqnarray*}$$
　　令
$$n+l=2n+1-k$$
　　则
$$\cos\frac{(n+l)\pi}{2n+1}=-\cos\frac{k\pi}{2n+1}(k=1,2,\cdots,n)$$
　　故
$$x^{2(2n+1)}-1=(x-1)(x+1)\prod\limits_{k=1}^n\left[(x^2+1)^2-4\cos^2\frac{k\pi}{2n+1}x^2\right]$$
　　在上式令$x=i$代入，得
$$-2=-2 \cdot 4^n\prod\limits_{k=1}^n\cos^2\frac{k\pi}{2n+1}$$
　　当
$$0< k \le n$$
　　时
$$0 < \frac{k\pi}{2n+1} \le \frac{n}{2n+1}\pi < \frac{\pi}{2},\cos\frac{k\pi}{2n+1}>0$$
　　故
$$\prod\limits_{k=1}^n\cos\frac{k\pi}{2n+1}=\frac{1}{2^n}$$
（2）我们有
$$x^{4n}-1=(x^2)^{2n}-1=(x^4-1)\prod\limits_{k=1}^{n-1}\left(x^4-2\cos\frac{2k\pi}{2n}x^2+1\right)$$
　　但
$$x^{4n}-1=(x^4)^n-1=(x^4-1)(x^{4(n-1)}+x^{4(n-2)}+\cdots+1)$$
　　故得
$$\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^{4k}=\prod\limits_{k=1}^{n-1}\left(x^4+1-2\cos\frac{2k\pi}{2n}x^2\right)$$
　　在上式取$x=1$，得
$$\begin{eqnarray*}
n&=&\prod\limits_{k=1}^{n-1}\left(2-2\cos\frac{2k\pi}{2n}\right)=2^{n-1}\prod\limits_{k=1}^{n-1}\left(1-\cos\frac{2k\pi}{2n}\right)\\
&=&2^{n-1}\prod\limits_{k=1}^{n-1}\left(1-\cos^2\frac{k\pi}{2n}+\sin^2\frac{k\pi}{2n}\right)\\
&=&4^{n-1}\prod\limits_{k=1}^{n-1}\sin^2\frac{k\pi}{2n}
\end{eqnarray*}$$
　　现在
$$0<k<n$$
　　故
$$0<\frac{k\pi}{2n}<\frac{\pi}{2}$$
　　即
$$\sin\frac{k\pi}{2n}>0$$
　　故
$$\prod\limits_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}=\frac{\sqrt n}{2^{n-1}}$$