蓝以中下册 一元多项式环 175页 习题二10 解答

castelu

习题二10：
　　设
$$f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n \in Z[x]$$
　　其中$a_0$为素数且
$$a_0>|a_1|+\cdots+|a_n|$$
　　证明$f(x)$为$Z[x]$内不可约多项式。

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解：
　　设$\alpha$为$f(x)$在$C$内的一个根
　　若
$$|\alpha| \le 1$$
　　则
$$\begin{eqnarray*}
a_0&=&|-a_1\alpha-a_2\alpha^2-\cdots-a_n\alpha^n|\\
&\le&|a_1||\alpha|+|a_2||\alpha|^2+\cdots+|a_n||\alpha|^n\\
&\le&|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n|
\end{eqnarray*}$$
　　与题设矛盾，故必
$$|\alpha|>1$$
　　若$f(x)$在$Z[x]$内可约，则有
$$g(x),h(x) \in Z[x]$$
　　使
$$f(x)=g(x)h(x)$$
　　因
$$a_0=p$$
　　为素数，若
$$p|a_i(i=1,2,\cdots,n)$$
　　因为
$$\deg f \ge 1$$
　　必有某个
$$a_i \ne 0$$
　　设
$$a_i=pa$$
　　则
$$|a_i|=p|a|,|a| \ge 1$$
　　于是
$$|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n| \ge p|a| \ge p=a_0$$
　　与题设矛盾。故$p$非$f(x)$系数的公因子
　　但$a_0$除$p$外无其他大于$1$的公因子。因此$f(x)$为本原多项式
　　从而
$$\deg g(x) \ge 1,\deg h(x) \ge 1$$
　　设
$$g(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_mx^m$$
$$h(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_kx^k$$
　　因为
$$a_0=b_0c_0 \ne 0$$
　　故
$$b_0 \ne 0$$
　　$g(x)$在$C$内的根
$$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$$
　　均为$f(x)$的根，故
$$|\beta_i|>1$$
　　根据方程根与系数的关系，有
$$\frac{b_0}{b_m}=(-1)^m\beta_1\beta_2\cdots\beta_m$$
　　因而
$$|b_0|=|b_m||\beta_1||\beta_2|\cdots|\beta_m|>|b_m|\ge 1$$
　　同理，有
$$|c_0|>1$$
　　这与$a_0$为素数矛盾
　　因此，$f(x)$在$Z[x]$内不可约。