蓝以中下册 多元多项式环 208页 习题一4 解答

castelu

习题一4：
　　设
$$f,g \in K[x_1,\cdots,x_n],g \ne 0$$
　　如果对使
$$g(a_1,\cdots,a_n) \ne 0$$
　　的$K$内任意一组元素
$$a_1,a_2,\cdots,a_n$$
　　都有
$$f(a_1,a_2,\cdots,a_n)=0$$
　　又已知$K$包含无穷多个元素，证明$f$为零多项式。

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解：
　　如果$f$为非零多项式，知$fg$为$K[x_1,\cdots,x_n]$内非零多项式，有
$$a_1,a_2,\cdots,a_n \in K$$
　　使
$$f(a_1,a_2,\cdots,a_n)g(a_1,a_2,\cdots,a_n) \ne 0$$
　　但
$$g(a_1,a_2,\cdots,a_n) \ne 0$$
　　时按题设应有
$$f(a_1,a_2,\cdots,a_n)=0$$
　　矛盾。故$f$必为零多项式。