蓝以中下册 多元多项式环 209页 习题一12 解答

castelu

习题一12：
　　设$K$是一个包含无穷多个元素的域，$A,B$是$K$上两个$n$阶方阵，证明
$$(AB)^*=B^*A^*$$
　　这里$A^*$表示$A$的伴随矩阵。

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解：
（1）若$A$与$B$均可逆，则
$$A^*=|A|A^{-1},B^*=|B|B^{-1}$$
　　此时$AB$也可逆，且
$$\begin{eqnarray*}
(AB)^*&=&|AB|(AB)^{-1}=|A||B|B^{-1}A^{-1}\\
&=&(|B|B^{-1})(|A|A^{-1})=B^*A^*
\end{eqnarray*}$$
（2）若$B$可逆，$A$不可逆。令$X=(x_{ij})$。而
$$f(x_{11},x_{12},\cdots,x_{nn})=(XB)^*-B^*X^*$$
　　它是
$$x_{11},x_{12},\cdots,x_{nn}$$
　　的一个多项式
　　当
$$X=A=(a_{ij})$$
　　为可逆矩阵时，由（1）知
$$f(a_{11},a_{12},\cdots,a_{nn})=0$$
　　按《蓝以中下册 多元多项式环 208页 习题一4 解答》，$f$为零多项式，即对
$$X=A$$
　　为任意$n$阶方阵
$$(AB)^*-B^*A^*=0$$
（3）若$A,B$均不可逆。令
$$X=(x_{ij})$$
　　而
$$f(x_{11},x_{12},\cdots,x_{nn})=(AX)^*-X^*A^*$$
　　由（1）及（2）知对任意可逆方阵
$$B=(b_{ij})$$
　　有
$$f(b_{11},b_{12},\cdots,b_{nn})=(AB)^*-B^*A^*=0$$
　　按《蓝以中下册 多元多项式环 208页 习题一4 解答》，$f$为零多项式，即对一切$n$阶方阵$B$，都有
$$(AB)^*=B^*A^*$$