蓝以中下册 多元多项式环 218页 习题二6 解答

castelu

习题二6：
　　证明：如果对某个$6$次方程有
$$s_1=s_3=0$$
　　（其中$s_k$表示该方程$6$个根的$k$次方之和），则
$$\frac{s_7}{7}=\left(\frac{s_5}{5}\right)\left(\frac{s_2}{2}\right)$$

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解：
　　此时
$$n=6$$
　　根据$Newton$公式，并注意到
$$s_1=\sigma_1=0$$
　　所以有
$$s_2=-2\sigma_2,s_5=-5\sigma_2\sigma_3+5\sigma_5$$
　　而
$$s_3=3\sigma_3=0$$
　　从而
$$s_3=\sigma_3=0,s_5=5\sigma_5$$
　　再由$Newton$公式，可得
$$\begin{eqnarray*}
s_7&=&\sigma_1s_6-\sigma_2s_5+\sigma_3s_4-\sigma_4s_3+\sigma_5s_2-\sigma_6s_1\\
&=&-5\sigma_2\sigma_5-2\sigma_2\sigma_5=-7\sigma_2\sigma_5
\end{eqnarray*}$$
　　所以
$$\frac{s_7}{7}=-\sigma_2\sigma_5=\left(\frac{s_5}{5}\right)\left(\frac{s_2}{2}\right)$$