蓝以中下册 多元多项式环 219页 习题二12 解答

castelu

习题二12：
　　在域$K$上$n$元多项式环$K[x_1,x_2,\cdots,x_n]$内证明初等对称多项式
$$\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n$$
　　与方幂和
$$s_1,s_2,\cdots,s_n$$
　　满足
$$s_m=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sigma_1}&{1}&{}&{}&{}&{}\\
{2\sigma_2}&{\sigma_1}&{\ddots}&{}&{}&{}\\
{3\sigma_3}&{\sigma_2}&{\ddots}&{\ddots}&{}&{}\\
{4\sigma_4}&{\sigma_3}&{\ddots}&{\ddots}&{\ddots}&{}\\
{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\ddots}&{\ddots}&{1}\\
{m\sigma_m}&{\sigma_{m-1}}&{\cdots}&{\sigma_3}&{\sigma_2}&{\sigma_1}
\end{array}} \right|_{m \times m},其中m=1,2,\cdots,n$$

---

解：
　　对$m$作数学归纳法
$$m=1$$
　　时有
$$s_1=\sigma_1$$
　　现设命题对
$$m<k$$
　　均成立，则当
$$m=k \le n$$
　　时，把行列式按最后一行展开，利用归纳假设，有
$$\begin{eqnarray*}
原行列式&=&(-1)^{k+1}k\sigma_k\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1}&{}&{}&{}&{}\\
{\sigma_1}&{1}&{}&{}&{}\\
{\sigma_2}&{\sigma_1}&{1}&{}&{}\\
{\vdots}&{}&{\ddots}&{\ddots}&{}\\
{\sigma_{k-2}}&{\sigma_{k-3}}&{\cdots}&{\sigma_1}&{1}
\end{array}} \right|\\
&+&\sum\limits_{i=2}^k(-1)^{k+i}\sigma_{k-i+1}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sigma_1}&{1}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\
{2\sigma_2}&{\sigma_1}&{\ddots}&{}&{}&{}&{}&{}\\
{\vdots}&{}&{\ddots}&{1}&{}&{}&{}&{}\\
{(i-1)\sigma_{i-1}}&{\cdots}&{\cdots}&{\sigma_1}&{}&{}&{}&{}\\
{i\sigma_i}&{}&{}&{}&{1}&{}&{}&{}\\
{\vdots}&{}&{}&{}&{\sigma_1}&{1}&{}&{}\\
{\vdots}&{}&{}&{}&{}&{\ddots}&{\ddots}&{}\\
{(k-1)\sigma_{k-1}}&{\cdots}&{\cdots}&{\cdots}&{\cdots}&{\cdots}&{\sigma_1}&{1}
\end{array}} \right|\\
&=&(-1)^{k+1}k\sigma_k+\sum\limits_{i=2}^k(-1)^{k+i}\sigma_{k-i+1}s_{i-1}\\
&=&\sigma_1s_{k-1}-\sigma_2s_{k-2}+\cdots+(-1)^k\sigma_{k-1}s_1+(-1)^{k+1}k\sigma_k\\
&=&s_k
\end{eqnarray*}$$
　　最后一步使用了$Newton$公式。