蓝以中下册 多元多项式环 219页 习题二14 解答

castelu

习题二14：
　　设$A$是数域$K$上的$n$阶方阵。如果
$${\rm Tr}(A^k)=0(k=1,2,\cdots,n)$$
　　证明$A$是幂零矩阵。

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解：
　　设
$$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$$
　　是属于$A$的$n$个特征值，$A$的$Jordan$标准型为
$$J=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{J_1}&{}&{}&{}\\
{}&{J_2}&{}&{}\\
{}&{}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{}&{J_m}
\end{array}} \right)$$
　　则
$${\rm Tr}(A^k)={\rm Tr}(J_1^k)+{\rm Tr}(J_2^k)+\cdots+{\rm Tr}(J_m^k)=\lambda_1^k+\lambda_2^k+\cdots+\lambda_n^k$$
　　由于上式对任意的$k$均成立，所以当$k$从$1$取到$n$，得到方程组
$$\left\{ \begin{array}{l}
x_1+x_2+\cdots+x_n=0\\
x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=0\\
\cdots\\
x_1^n+x_2^n+\cdots+x_n^n=0
\end{array} \right.$$
　　设
$$\begin{eqnarray*}
f(x)&=&(x-x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_n)\\
&=&x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n
\end{eqnarray*}$$
　　则由$Newton$公式
$$\left\{ \begin{array}{l}
S_1+a_1=0\\
S_2+S_1a_1+2a_2=0\\
\cdots\\
S_n+S_{n-1}a_1+\cdots+S_1a_{n-1}+na_n=0
\end{array} \right.$$
　　按题意
$$S_1=0,S_2=0,S_3=0,S_4=0$$
　　于是
$$a_1=a_2=\cdots=a_n=0$$
　　故
$$f(x)=x^n$$
　　因此
$$x_1=x_2=\cdots=x_n=0$$
　　即$A$是幂零矩阵。