蓝以中下册 多元多项式环 227页 习题三6 解答

castelu

习题三6：
　　设$f,g,h$是数域$K$上三个一元多项式，证明
$$R(fg,h)=R(f,h) \cdot R(g,h)$$

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解：
　　设
$$\deg f=m,\deg g=n,\deg h=k$$
　　又设$f$首项系数为$a_0$，$g$首项系数为$b_0$
　　让$f$在$C$内$m$个根是
$$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$$
　　$g$在$C$内$n$个根是
$$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$$
　　那么，我们有
$$\begin{eqnarray*}
R(fg,h)&=&(a_0b_0)^k\prod\limits_{i=1}^mh(\alpha_i)\prod\limits_{j=1}^nh(\beta_j)\\
&=&a_0^k\prod\limits_{i=1}^mh(\alpha_i) \cdot b_0^k\prod\limits_{j=1}^nh(\beta_j)\\
&=&R(f,h)R(g,h)
\end{eqnarray*}$$