子列

castelu

定义　设$\left\{a_n \right\}$为数列，$\left\{n_k \right\}$为正整数集$N_+$的无限子集，且$n_1 < n_2 < \cdots < n_k < \cdots$，则数列
$$a_{n_1}，a_{n_2}，\cdots，a_{n_k}，\cdots$$
　　称为数列$\left\{a_n \right\}$的一个子列，简记为$\left\{a_{n_k} \right\}$。
　　数列$\left\{a_n \right\}$本身以及$\left\{a_n \right\}$去掉有限项后得到的子列，称为$\left\{a_n \right\}$的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为$\left\{a_n \right\}$的非平凡子列。例如$\left\{a_{2k} \right\}$和$\left\{a_{2k-1} \right\}$都是$\left\{a_n \right\}$的非平凡子列。数列$\left\{a_n \right\}$与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限。

定理　数列$\left\{a_n \right\}$收敛的充要条件是：$\left\{a_n \right\}$的任何非平凡子列都收敛。