函数极限

castelu

定义1　设$f$为定义在$\left[ a,+\infty \right)$上的函数，$A$为定数。若对任给的$\epsilon > 0$，存在正数$M\left( \ge a \right)$，使得当$x > M$时有
$$\left| f(x) - A \right| < \epsilon，$$
　　则称函数$f$当$x$趋于$+\infty$时以$A$为极限，记作
$$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}f\left( x \right)=A或f\left( x \right) \to A \left( x \to +\infty \right)。$$

定义2（函数极限的$\epsilon - \delta$定义）　设函数$f$在点$x_0$的某个空心邻域$U^ \circ \left( x_0;\delta ' \right)$内有定义，$A$为定数。若对任给的$\epsilon > 0$，存在正数$\delta \left( <\delta' \right)$，使得当$0 < \left| x - x_0 \right| < \delta$时有
$$\left| f(x) - A \right| < \epsilon，$$
　　则称函数$f$当$x$趋于$x_0$时以$A$为极限，记作
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right)=A或f\left( x \right) \to A \left( x \to x_0 \right)。$$