无穷小量阶的比较

castelu

　　设当$x \to x_0$时，$f$与$g$均为无穷小量。
1、若$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=0$，则称当$x \to x_0$时$f$为$g$的高阶无穷小量，或称$g$为$f$的低阶无穷小量，记作
$$f\left( x \right)=o\left( g\left( x \right) \right)\left( x \to x_0 \right)$$
　　特别，$f$为当$x \to x_0$时的无穷小量记作
$$f\left( x \right)=o\left( 1 \right)\left( x \to x_0 \right)$$

2、若存在正数$K$和$L$，使得在某$U^\circ \left( x_0 \right)$上有
$$K \le \left| \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} \right| \le L，$$
　　则称$f$与$g$为当$x \to x_0$时的同阶无穷小量。特别当
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f\left( x \right)}{g\left ( x \right)} = c\ne 0$$
　　时，$f$与$g$必为同阶无穷小量。
　　若无穷小量$f$与$g$满足关系式
$$\left| \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} \right| \le L，x \in U^\circ \left( x_0 \right)，$$
　　则记作
$$f\left( x \right) = O\left( g\left( x \right) \right)\left( x \to x_0 \right)$$
　　特别，若$f$在某$U^\circ \left( x_0 \right)$内有界，则记为
$$f\left( x \right) = O\left( 1 \right)\left( x \to x_0 \right)$$

注　等式$f\left( x \right) = o\left( g\left( x \right) \right)(x \rightarrow x_0)$与$f\left( x \right) = O\left( g\left( x \right) \right)\left( x \to x_0 \right)$等，与通常等式的含义是不同的。这里等式左边是一个函数，右边是一个函数类，而中间的等号的含义是“属于”。

3、若$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} = 1$，则称$f$与$g$是当$x \to x_0$时的等价无穷小量。记作
$$f\left( x \right) \sim g\left( x \right)\left( x \to x_0 \right)$$