一致连续性

castelu

定义　设$f$为定义在区间$I$上的函数，若对任给的$\epsilon > 0$，存在$\delta = \delta \left( \epsilon \right) > 0$，使得对任何$x'$，$x'' \in I$，只要$\left| x' - x'' \right| < \delta$，就有
$$\left| f\left( x' \right) - f\left( x'' \right) \right| < \epsilon，$$
　　则称函数$f$在区间$I$上一致连续。
　　直观地说，$f$在$I$上一致连续意味着：不论两点$x'$与$x''$在$I$中处于什么位置，只要它们的距离小于$\delta$，就可使$\left| f\left( x' \right) - f\left( x'' \right) \right| < \epsilon$。

定理（一致连续性定理）　若函数$f$在闭区间$\left[ a,b \right]$上连续，则$f$在$\left[ a,b \right]$上一致连续。