导数

castelu

定义　设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义，若极限
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
　　存在，则称函数$f$在点$x_0$可导，并称该极限为函数$f$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$。
　　令$x = x_0 + \Delta x$，$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$，则上式可改写为
$$\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0)。$$
　　所以，导数是函数增量$\Delta y$与自变量增量$\Delta x$之比$\frac{\Delta y}{\Delta x}$的极限。这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数$f'(x_0)$则为$f$在$x_0$处关于$x$的变化率。
　　若上式极限不存在，则称$f$在点$x_0$处不可导。
　　我们已经知道$f(x)$在点$x=x_0$的切线斜率$k$，正是割线斜率在$x \to x_0$时的极限，即
$$k=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}。$$
　　由导数的定义，$k=f'(x)$，所以曲线$y=f(x)$在点$x_0,y_0$的切线方程是
$$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)。$$
　　这就是说：函数$f$在点$x_0$的导数$f'(x_0)$是曲线$y=f(x)$在点$(x_0,y_0)$处的切线斜率。若$\alpha$表示这条切线与$x$轴正向的夹角，则$f'(x_0) = \tan \alpha$。从而$f'(x_0) > 0$意味着切线与$x$轴正向的夹角为锐角；$f'(x_0) < 0$意味着切线与$x$轴正向的夹角为钝角；$f'(x_0) = 0$表示切线与$x$轴平行。