极大值与极小值

castelu

定义　若函数$f$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内对一切$x \in U(x_0)$有
$$f(x_0) \ge f(x)（f(x_0) \le f(x)），$$
　　则称函数$f$在点$x_0$取得极大（小）值，称点$x_0$为极大（小）值点。极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。

定理1（极值的第一充分条件）　设$f$在点$x_0$连续，在某邻域$U^\circ (x_0;\delta)$内可导。
（i）若当$x \in (x_0- \delta,x_0)$时$f'(x) \le 0$，当$x \in (x_0,x_0+ \delta)$时$f'(x) \ge 0$，则$f$在点$x_0$取得极小值。
（ii）若当$x \in (x_0- \delta,x_0)$时$f'(x) \ge 0$，当$x \in (x_0,x_0+ \delta)$时$f'(x) \le 0$，则$f$在点$x_0$取得极大值。

定理2（极值的第二充分条件）　设$f$在$x_0$的某邻域$U^\circ (x_0;\delta)$内一阶可导，在$x=x_0$处二阶可导，且$f'(x_0)=0$，$f''(x_0) \ne 0$。
（i）若$f''(x_0)<0$，则$f$在$x_0$取得极大值。
（ii）若$f''(x_0)<0$，则$f$在$x_0$取得极小值。

定理3（极值的第三充分条件）　设$f$在$x_0$的某邻域内存在直到$n-1$阶导函数，在$x_0$处$n$阶可导，且$f^{(k)}(x_0)=0(k-1,2.\cdots,n-1)$，$f^{(n)}(x_0) \ne 0$，则
（i）当$n$为偶数时，$f$在$x_0$取得极值，且当$f^{(n)}(x_0)<0$时取得极大值，$f^{(n)}(x_0)>0$时取极小值。
（ii）当$n$为奇数时，$f$在$x_0$处不取极值。