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[数学分析] L'Hospital法则

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发表于 2017-11-8 19:12:36 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
  两个无穷小(大)量之比的极限,可能存在,也可能不存在,我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为不定式极限,分别记录为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型的不定式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限,这个方法通常称为洛必达(L'Hospital)法则。

1、$\frac{0}{0}$型不定式极限

定理(L'Hospital法则I) 若函数$f$和$g$满足:
(i)$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x)=0$;
(ii)在点$x_0$的某空心邻域$U^\circ (x_0)$内两者都可导,且$g'(x) \ne 0$;
(iii)$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A$($A$可为实数,也可为$\pm \infty$或$\infty$),
  则
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A。$$

注意 若将定理中$x$换成$x \to x_0^+$,$x \to x_0^-$,$x \to \pm \infty$,$x \to \infty$,只要相应地修正条件(ii)中的邻域,也可得到同样的结论。

  如果$f'$、$g'$、$f''$、$g''$满足条件,我们可以再次应用L'Hospital法则I。

2、$\frac{\infty}{\infty}$型不定式极限

定理(L'Hospital法则II) 若函数$f$和$g$满足:
(i)$\lim\limits_{x \rightarrow x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0^+}g(x)= \infty$;
(ii)在点$x_0$的某右邻域$U_+^\circ (x_0)$内两者都可导,且$g'(x) \ne 0$;
(iii)$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A$($A$可为实数,也可为$\pm \infty$或$\infty$),
  则
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A。$$

注意 若将定理中$x$换成$x \to x_0^-$,$x \to x_0$,$x \to \pm \infty$,$x \to \infty$,只要相应地修正条件(ii)中的邻域,也可得到同样的结论。

  如果$f'$、$g'$、$f''$、$g''$满足条件,我们可以再次应用L'Hospital法则II。
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