区间套定理

castelu

定义　设闭区间列${[a_n,b_n]}$具有如下性质：
（i）$[a_n,b_n] \supset [a_{n+1},b_n]$，$n=1,2,\cdots$；
（ii）$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}(b_n-a_n)=0$，
　　则称${[a_n,b_n]}$为闭区间套，或简称区间套。

　　这里性质（i）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：
$$a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n \le \cdots \le b_n \le \cdots \le b_2 \le b_1。$$

定理（区间套定理）　若${[a_n,b_n]}$是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点$\xi$，使得$\xi \in [a_n,b_n]$，$n=1,2,\cdots$，即
$$a_n \le \xi \le b_n，n=1,2,\cdots。$$

推论　若$\xi \in [a_n,b_n](n=1,2,\cdots)$是区间套${[a_n,b_n]}$所确定的点，则对任给的$\epsilon >0$，存在$N>0$，使得当$n>N$时有
$$[a_n,b_n] \subset U(\xi;\epsilon)。$$

注　区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。