上极限与下极限

castelu

定义1　若在数$a$的任一邻域内含有数列$\left\{x_n \right\}$的无限多个项，则称$a$为$\left\{x_n \right\}$的一个聚点。

定理1　有界点列（数列）$\left\{x_n \right\}$至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点。

　　若定义1中的$a$可允许是非正常点$+\infty$或$-\infty$，则定理1可相应地扩充为：任一点列$\left\{x_n \right\}$至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点。

　　不难证明：无上（下）界点列的最大（小）聚点为$+\infty(-\infty)$。于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限$+\infty(-\infty)$。

定义2　有界数列（点列）$\left\{x_n \right\}$的最大聚点$\overline A$与最小聚点$\underline A$分别称为$\left\{x_n \right\}$的上极限与下极限，记作
$$\overline A=\overline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}x_n，\underline A=\underline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}x_n。$$

　　由定理1立刻可得：任何有界数列必存在上、下极限。

定理2　对任何有界数列$\left\{x_n \right\}$有
$$\underline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}x_n \le \overline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}x_n。$$

定理3　$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n=A$的充要条件是$\overline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}x_n=\underline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}x_n=A$。

定理4　设$\left\{x_n \right\}$为有界数列。
（1）$\overline A$为$\left\{x_n \right\}$上极限的充要条件是：任给$\epsilon>0$，
（i）存在$N>0$，使得当$n>N$时有$x_n<\overline A+ \epsilon$；
（ii）存在子列$\left\{x_{n_k} \right\}$，$x_{n_k}>\overline A- \epsilon$，$k=1,2,\cdots$。
（2）$\underline A$为$\left\{x_n \right\}$下极限的充要条件是：任给$\epsilon>0$，
（i）存在$N>0$，使得当$n>N$时有$x_n>\underline A- \epsilon$；
（ii）存在子列$\left\{x_{n_k} \right\}$，$x_{n_k}<\underline A+ \epsilon$，$k=1,2,\cdots$。

定理5　设$\left\{x_n \right\}$为有界数列。
（1）$\overline A$为$\left\{x_n \right\}$上极限的充要条件是：对任何$\alpha>\overline A$，$\left\{x_n \right\}$中大于$\alpha$的项至多有限个；对任何$\beta<\overline A$，$\left\{x_n \right\}$中大于$\beta$的项有无限多个。
（2）$\underline A$为$\left\{x_n \right\}$下极限的充要条件是：对任何$\beta<\underline A$，$\left\{x_n \right\}$中小于$\beta$的项至多有限个；对任何$\alpha >\underline A$，$\left\{x_n \right\}$中小于$\alpha$的项有无限多个。

定理6（上、下极限的保不等式性）　设有界数列${a_n}$，${b_n}$满足：存在$N_0>0$,当$n>N_0$时有$\alpha \le a_n \le \beta$，则
$$\overline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}a_n \le \overline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}b_n，\underline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}a_n \le \underline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}b_n。$$
特别，若$\alpha$，$\beta$为常数，又存在$N_0>0$，当$n>N_0$时有$\alpha \le a_n \le \beta$，则
$$\alpha \le \underline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}a_n \le \overline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}b_n \le \beta。$$

定理7　设$\left\{x_n \right\}$为有界数列。
（1）$\overline A$为$\left\{x_n \right\}$上极限的充要条件是
$$\overline A= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sup\limits_{k \ge n}{x_k}；$$
（2）$\underline A$为$\left\{x_n \right\}$下极限的充要条件是
$$\underline A= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\inf\limits_{k \ge n}{x_k}。$$

注　对于非正常上、下极限，上述定理2至定理7也成立（其中定理3应作相应的修改）。例如，$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n=+\infty$的充要条件是
$$\overline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}x_n=\underline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}x_n=+\infty。$$