某些无理根式的不定积分

castelu

1、$\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx$型不定积分$(ad-bc \ne 0)$。对此只需令$t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$，就可化为有理函数的不定积分。
2、$\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})dx$型不定积分（$a>0$时$b^2-4ac \ne 0$，$a<0$时$b^2-4ac>0$）。由于
$$ax^2+bx+c=a[(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}]，$$
　　若记$u=x+\frac{b}{2a}$，$k^2=|\frac{4ac-b^2}{4a^2}|$，则此二次三项式必属于以下三种情形之一：
$$|a|(u^2+k^2)，|a|(u^2-k^2)，|a|(k^2-u^2)。$$
　　因此上述无理根式的不定积分也就转化为以下三种类型之一：
$$\int R(u,\sqrt{u^2 \pm k^2})du，\int R(u,\sqrt{k^2-u^2})du。$$
　　当分别令$u=k \tan t$，$u=k \sec t$，$u=k \sin t$后，它们都化为三角有理式的不定积分。
　　一般地，二次三项式$ax^2+bx+c$中若$a>0$，则可令
$$\sqrt{ax^2+bx+c}= \sqrt{a}x \pm t；$$
　　若$c>0$，还可令
$$\sqrt{ax^2+bx+c}= xt \pm \sqrt{c}。$$
　　这类变换称为欧拉变换。