可积条件

castelu

定理1（可积的必要条件）　若函数$f$在$[a,b]$上可积，则$f$在$[a,b]$上必定有界。

定理2（可积的充分条件）　若$f$为$[a,b]$上的连续函数，则$f$在$[a,b]$上可积。

定理3（可积的充分条件）　若$f$是区间$[a,b]$上只有有限个间断点的有界函数，则$f$在$[a,b]$上可积。

定理4（可积的充分条件）　若$f$是$[a,b]$上的单调函数，则$f$在$[a,b]$上可积。

定理5（可积准则）　函数$f$在$[a,b]$上可积的充要条件是：任给$\epsilon>0$，总存在相应的一个分割$T$，使得
$$S(T)-s(T)< \epsilon。$$

　　设$w_i=M_i-m_i$，称为$f$在$\Delta_i$上的振幅，有必要时也记为$w_i^f$。由于
$$S(T)-s(T)=\sum\limits_{i=1}^nw_i \Delta x_i（或记为\sum\limits_{T}w_i \Delta x_i），$$
　　因此可积准则又可改述如下：

定理6　函数$f$在$[a,b]$上可积的充要条件是：任给$\epsilon>0$，总存在相应的某一分割$T$，使得
$$\sum\limits_{T}w_i \Delta x_i< \epsilon。$$
　　不等式的几何意义是：若$f$在$[a,b]$上可积，则包围曲线$y=f(x)$的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分地细；反之亦然。

定理7（可积的第一充要条件）　函数$f$在$[a,b]$上可积的充要条件是：$f$在$[a,b]$上的上积分与下积分相等，即
$$S=s。$$

定理8（可积的第二充要条件）　函数$f$在$[a,b]$上可积的充要条件是：任给$\epsilon>0$，总存在某一分割$T$，使得
$S(T)-s(T)< \epsilon$，即$\sum\limits_{i=1}^nw_i \Delta x_i < \epsilon$。
　　其中$w_i=M_i-m_i$（$f$在$\Delta_i$上的振幅），$i=1,2,\cdots,n$。
　　此定理即为可积准则。

定理9（可积的第三充要条件）　函数$f$在$[a,b]$上可积的充要条件是：任给正数$\epsilon,\eta$，总存在某一分割$T$，使得属于$T$的所有小区间中，对应于振幅$w_{k'} \ge \epsilon$的那些小区间$\Delta_{k'}$的总长$\sum\limits_{k'} \Delta x_{k'} < \eta$。